חוק סטפן-בולצמן

חוק סטפן־בולצמן קובע כי השטף של הקרינה הנפלטת מגוף שחור פרופורציוני לחזקה הרביעית של הטמפרטורה שלו. "גוף שחור" הוא גוף אידיאלי שקול ואוגר קרינה בצורה מושלמת, ולכן מהווה מודל חשוב בפיזיקה ובאסטרופיזיקה.

הנוסחה הבסיסית היא I = σ T^4, כאשר I היא עוצמת הקרינה ליחידת שטח וליחידת זמן, T היא הטמפרטורה בקלווין, ו־σ הוא קבוע סטפן־בולצמן. ערכו של σ ניתן לביטוי באמצעות קבועים יסודיים: σ = (2π^5 k^4)/(15 c^2 h^3) ≈ 5.670373×10^−8 J·m^−2·s^−1·K^−4.

החוק נוסח אמפירית על ידי יוזף סטפן ולודוויג בולצמן בעקבות תצפיות של קרינת גוף שחור. מאוחר יותר הראה מקס פלאנק שהחוק נובע מתוך חוק פלאנק, המתאר את עוצמת ההארה כפונקציה של תדר (הפצת אנרגיה לפי צבעים). כאשר מסכמים את הקרינה על כל התדרים ועל כל הזוויות, מתקבלת התלות ב־T^4 והביטוי של σ.

ההוכחה מתחילה בחוק פלאנק לעוצמת ההארה לפי תדר: I(ν,T) = (2hν^3/c^2)/(e^{hν/(kT)}−1). מחשבים את ההספק הנפלט ליחידת שטח על ידי אינטגרציה על כל התדרים ועל חצי הספירה של הכיוונים. עקב התנהגות למברטית (קרינה אחידה לכל הכיוונים), מופיע גורם cos לזווית, ודיפרנציאל הזווית הוא sinφ dφ dθ. עושים החלפה u = hν/(kT) ושולפים את תלות ה־T^4 מחוץ לאינטגרל. האינטגרל על u שווה ל־π^4/15, ומשם נובע j* = σ T^4 עם הביטוי של σ שצוין קודם.

מסקנה מעשית: ניתן להשתמש בחוק כדי לקבוע את ההספק הכולל שנפלט ממשטח חם, ולחשב למשל בהשערות על כוכבים את הגודל שלהם כשהטמפרטורה ידועה.

חוק סטפן־בולצמן אומר: גוף שמשנה חום פולט קרינה. הקרינה גדלה מאוד כשהטמפרטורה עולה. אם מכפילים את הטמפרטורה בעצמה ארבע פעמים, מקבלים את השינוי בקרינה.

החוק נתגלה על ידי סטפן ובולצמן. מאוחר יותר הראה פלאנק שהוא תקף כשמחברים את כל צבעי האור.

הסבר קצר: משתמשים בנוסחה של פלאנק כדי לסכום את כל התדרים ואת כל הכיוונים. אחרי חישוב מיוחד מקבלים את היחס בין קרינה לטמפרטורה. חוק זה עוזר לחשב כמה אנרגיה פולט משטח חם, למשל בכוכבים.