לוגריתם (Logarithm) הוא הפונקציה ההפוכה לפונקציה המעריכית. הכוונה: נתון בסיס b (>0 ושונה מ־1) ותוצאה x (>0). הלוגריתם נותן את החזקה y שאם מגדילים את b בחזקה y מקבלים את x. כותבים זאת y = log_b x. מזהות בסיסית חשובה: b^{log_b x} = x. דוגמה פשוטה: log_{10} 100 = 2, כי 10 בחזקת 2 שווה ל־100.
לוגריתמים בעלי בסיסים שונים (למשל e, 2, או 1/2). גרף של כל לוגריתם עובר דרך הנקודה (1,0), כיוון שכל מספר בחזקת 0 שווה ל־1.
הסימון log בלי ציון בסיס אינו קבוע בכל תחום. בהקשרים שונים הוא מציין את הלוגריתם הטבעי (ln, בבסיס e) או את הלוגריתם בבסיס 10. חשוב לשים לב להקשר.
ג'ון נייפייר הציג את הלוגריתמים בתחילת המאה ה־17. עד להופעת המחשבים והמחשבים הכיסיים במאה ה־20 השתמשו בלוחות לוגריתמים ובסרגל חישוב כדי להאיץ חישובים. הרעיון המרכזי היה שהלוגריתם של מכפלה שווה לסכום הלוגריתמים, ולכן אפשר להמיר כפל בחיבור פשוט.
להלן חוקי יסוד שנחוצים בעבודה עם לוגריתמים (עבור בסיסים חיוביים שונים מ־1):
- log_a(1) = 0. כלומר הלוגריתם של 1 הוא 0.
- log_a(a) = 1. כלומר לוגריתם של הבסיס הוא 1.
- log_c(a·b) = log_c(a) + log_c(b). לוגריתם של מכפלה הוא סכום הלוגריתמים.
- log_c(a/b) = log_c(a) - log_c(b). לוגריתם של חילוק הוא הפרש.
- log_c(a^r) = r·log_c(a). מזיזים חזקה החוצה כמקדם.
- כלל המרת בסיס: log_a b = log_c b / log_c a. כלל זה שימושי כשרוצים לחשב לוגריתם בבסיס שלא מופיע במחשבון.
ברוב המחשבים יש לחצני ln (לוגריתם טבעי) ו־log (בדרך כלל בסיס 10). כדי לחשב למשל log_2 100 מחשבים log_{10} 100 חלקי log_{10} 2, או מחלקים ln 100 ב־ln 2.
האלגוריתם של פיינמן: זו שיטה יעילה בחישוב בינארי. היא מפרקת מספר בטווח 1 עד 2 לגורמים מהצורה (1+2^{-k}). כל גורם כזה נותן ערך לוגריתמי ידוע, ולבסוף מחברים את הערכים כדי לקבל את הלוגריתם של המספר. השיטה דומה לחילוק ארוך ומתאימה במיוחד למכונות בינאריות. עם זאת היא לא מחליפה שיטות אנליטיות עמוקות יותר.
הממוצע האריתמטי-גאומטרי: קיימות שיטות מתמטיות (מבוססות על ממוצע אריתמטי-גאומטרי) שמאפשרות קירובים מהירים מאד ל־ln(x). חוקרים הראו ששיטות כאלה טובות במיוחד כאשר צריך דיוק גבוה מאוד.
לוגריתם אומר באיזו חזקה צריך להעלות מספר שנקרא בסיס, כדי לקבל מספר אחר. אם הבסיס הוא 10 והמספר הוא 100, אז הלוגריתם הוא 2. כי 10 בחזקת 2 שווה 100.
כל גרף של לוגריתם עובר דרך הנקודה (1,0). זאת כי כל בסיס בחזקת 0 שווה 1.
ג'ון נייפייר המציא את הלוגריתמים במאה ה־17. עד שהיו מחשבים, אנשים השתמשו בלוחות וסרגל חישוב. הם הפכו כפל לחיבור בעזרת לוגריתמים.
כמה חוקים חשובים וקלים לזכור:
- log של 1 שווה 0.
- log של הבסיס שווה 1.
- log של מכפלה = סכום של הלוגים.
- log של חזקה = החזקה כפול הלוגריתם.
מחשבים בדרך כלל נותנים ln (בבסיס e) ו־log (בבסיס 10). כדי לחשב log בבסיס 2 אפשר לחלק את שני הלוגים: למשל מחלקים log_{10}(100) ב־log_{10}(2).
יש שיטות שונות לחישוב. אחת מהן, של פיינמן, מפרקת מספרים בין 1 ל־2 לגורמים קטנים ומשתמשת בטבלת ערכים של לוגים. זה עוזר למחשבים פשוטים.
תגובות גולשים