לוגריתם טבעי הוא לוגריתם שבבסיסו הקבוע המתמטי e. e הוא מספר לא־רציונלי וטרנסצנדנטי, שמתחיל ב־2.718281828. המונח נכנס לשימוש לראשונה ב־1668 על ידי ניקולאוס מרקטור.
הלוגריתם הטבעי מסומן בדרך כלל ln(x). לפעמים כותבים פשוט log, ואם ההקשר ברור הכוונה היא ל־log בבסיס e. התחום הרגיל של ln הוא המספרים הממשיים החיוביים בלבד. עם זאת אפשר להאריך את ההגדרה גם למספרים מרוכבים (כלל המחוברים שאינם 0).
ln הוא הפונקציה ההופכית של הפונקציה האקספוננציאלית (הפונקציה e בחזקת x). כלומר ln(e^x)=x, ולעומת זאת e^{ln(x)}=x לכל x>0. הנגזרת של ln היא פשוטה: עבור x ממשי חיובי, d/dx ln(x)=1/x.
אפשר להגדיר את ln גם כאינטגרל: ln(a)=
∫_1^a (1/x) dx, כלומר שטח מתחת לעקומה 1/x מ־1 עד a. מטור טיילור של ln מתקיים לביטוי של ln(1+x) כסכום טורי; האיברים הראשונים הם x − x^2/2 + x^3/3 − ... .
כשהמעבירים להגדרה למספרים מרוכבים, הופעת הזווית (הארגומנט) יוצרת רב־ערכיות: אם z= r e^{iφ} אז
log(z)=ln(r)+ i(φ+2πk), כאשר k שלם. אפשר לפתור את הבעיה הזו על־ידי בחירת ענף (תיחום טווח הזווית) או על־ידי הגדרה על תחום שאינו מקיף את האפס. בדרך כלל בוחרים את הטווח φ∈(−π,π], ואז יש אי־רציפות על המספרים הממשיים השליליים.
הלוגריתם הטבעי מופיע בתוצאות חשובות. למשל משפט המספרים הראשוניים קושר את מספר הראשוניים עד x לביטוי x/ln(x). עוד קשר הוא לסדרה ההרמונית: ההפרש בין סכום ההפכי של המספרים הטבעיים ל־ln(n) מתקרב לקבוע אוילר, מסקרוני γ, שערכו בערך 0.5772156649.
לוגריתם טבעי הוא סוג של "לוגריתם". לוגריתם הוא דרך למדוד חזקה. הבסיס של הלוגריתם הטבעי הוא מספר מיוחד שנקרא e. e זה מספר בערך 2.718281828.
מסמנים אותו ln(x). ln אומר: מה החזקה שצריך ל־e כדי לקבל x. לדוגמה, ln(e)=1.
הלוגריתם טבעי עובד בשביל מספרים חיוביים. אפשר גם להרחיב אותו למספרים עם חלק דמיוני (מספרים מרוכבים), אבל אז הוא יכול לקבל כמה ערכים שונים.
עוד דבר חשוב: ln קשור לחישובים של שטחים. אפשר לכתוב ln(a) כשטח מתחת לעקומה של 1/x בין 1 ל־a. גם יש נוסחא שמתארת את ln(1+x) כסכום של כמה איברים פשוטים, שהאיברים הראשונים הם x − x^2/2 + x^3/3.
הלוגריתם הטבעי עוזר לתאר גדלים במתמטיקה. למשל, הוא נכנס בנוסחה שמעריכה כמה מספרים ראשוניים יש עד מספר גדול x. גם יש קשר בינו לבין סכום ההפכים של המספרים הטבעיים, שקשור לקבוע שמכונה גמא (γ), בערך 0.577.
תגובות גולשים