מודל איזינג

מודל איזינג (על שמו של ארנסט איזינג) הוא מודל במכניקה סטטיסטית.
הוא מתאר פרומגנט, מערכת של יחידות בינאריות שמוצבות על סריג ומתקשרות עם שכנים קרובים.
היחידות האלה נקראות "ספינים". ספין יכול להיות רק +1 או -1, כלומר חץ שמצביע מעלה או מטה.

המודל פופולרי כי הוא פשוט אך מייצג תופעות חשובות של מעבר פאזה.
הוא שימושי גם לתיאור מערכות שאינן מגנטיות ומעניק תובנות על איך סדר מופיע מתוך אי-סדר.

כל נקודת סריג מכילה ספין קבוע במקום. הספינים לא נעים במרחב, אך יכולים להחליף סימן.
בדרך כלל מקבלים תנאי שפה מחזוריים כדי לדמות מערכת גדולה מאוד.

האינטראקציה בין ספינים מתוארת על ידי "אנרגיית קשר" g. זוהי אנרגיה שמשולבת על זוגות שכנים.
אם g>0 האינטראקציה פרומגנטית, הספינים מעדיפים להיות מסודרים באותו כיוון.
כך, במצב האנרגיה הנמוכה ביותר רוב הספינים מופיעים באותו סימן.
עובדה חשובה: אנרגיות האינטראקציה הן בדידות ומוגבלות, וזה מקל על הפתרון של המודל.

פתרון המודל פירושו חישוב פונקציית החלוקה והגדלים התרמודינמיים הנגזרים ממנה.
ארנסט איזינג פתר את המודל בשרשרת חד-ממדית ב-1925 ומצא שאין מעבר פאזה בטמפרטורה סופית.
בממד דו-ממדי הוכח שקיים מעבר פאזה, וחישובים חשובים של הטמפרטורה הקריטית בוצעו בתחילת המאה ה-20.
לארס אונסאגר פתר אנליטית את המקרה הדו-ממדי ב-1944.
בממדים גבוהים יותר (כמו תלת-ממדי) אין פתרון אנליטי ברור, ומחפשים פתרונות נומריים.

שיטות נומריות כוללות סימולציות מונטה-קרלו. זוהי שיטת סימולציה רנדומלית שבה בכל צעד יש סיכוי ששכבת ספינים תשתנה.
הסתברויות המעבר נקבעות לפי התפלגות בולצמן, התפלגות שקובעת הסתברות לפי אנרגיה.
על ידי סימולציות בגודל משתנה אפשר לשחזר את הגבול של מערכת אינסופית (finite-size scaling).

ניתן להשתמש ברעיון של התפלגות בולצמן כדי להעריך את השדה המגנטי שנוצר בחומר בטמפרטורה נתונה.
חישוב מספר האטומים הפונים בכיוון השדה מול ההפוכים נותן משוואה שנפתרת מספרית.
לדוגמה, חישוב פשוט עבור ברזל נותן טמפרטורת קירי מקירוב של כ־990K.
הערך הנמדד בפועל הוא כ־1043K, כך שהקירוב משביע רצון.

יש מודלים מורכבים יותר מהאיזינג הבסיסי. לדוגמה מודל איסינג עם יותר ממצב אחד בכל אתר, מודל פוטס (מספר מצבים גדול יותר) ומודל הייזנברג שבו המשתנה הוא וקטור.

מודל איזינג משמש גם באופטימיזציה. בעיות ממודלות כספינים על סריג, והאנרגיה שקולה לפונקציית עלות.
מניחים שהמערכת מתייצבת במינימום אנרגיה ומקבלים פתרון אופטימלי. שיטה מבוססת על כך נקראת Simulated Annealing.

מודל איזינג הוא דגם פשוט בפיזיקה.
הוא מתאר רשת של "ספינים". ספין הוא כמו מגנט קטן.
כל ספין יכול להצביע למעלה או למטה.
הספינים משפיעים רק על השכנים הקרובים אליהם.

אם הספינים אוהבים להיות באותו כיוון, נקבל פרומגנט.
פרומגנט הוא חומר שמתגבש ומקבל מגנט כולל.

הספינים לא נעים מהמקום.
הם רק משתנים להיות + או -.

יש אנרגיה שמקשרת בין שכנים. כשאנרגיית הקשר גדולה וחיובית, הספינים רוצים להתאים זה לזה.
כך המערכת יכולה להיות מסודרת או מבולגנת בהתאם לטמפרטורה.

בשרשרת אחת-ממדית אין מעבר למצב מסודר בטמפרטורה סבירה.
בשתי ממדים קיים מעבר כזה; בשנת 1944 נמצא פתרון חשוב למקרה זה.
למערכות גדולות יותר משתמשים בסימולציות מחשב שמחליפות ספינים בתורם.

אפשר להעריך את הטמפרטורה שבה חומר מפסיק להיות מגנטי.
חישוב דוגמה לברזל נותן כ־1000 מעלות קלווין.
זה קרוב לערך האמיתי של כ־1043K.

קיימים גרסאות מורכבות יותר של המודל.
במחשבים משתמשים ברעיון כדי לפתור בעיות חיפוש ואופטימיזציה.
השיטה שנקראת "התקררות מדומה" (Simulated Annealing) מבוססת על זה.