מטוטלת מתמטית

מטוטלת מתמטית היא מטוטלת שמורכבת מגוף זעיר התלוי על חוט שנטען שחסר מסה ואינו מתארך. הזווית של התנודה נחשבת קטנה. זהו מודל אידיאלי שאינו קיים במציאות, אך מאפשר לתאר את התנועה בצורה פשוטה. תחת הקירוב הזה המטוטלת מתנהגת כאוסצילטור הרמוני, מודל לתנודות רבות בפיזיקה.

לאחר השהייה משיווי המשקל והשחרור, הגוף מתנדנד בקשת מעגלית סביב נקודת התלייה. מומנט הכוח של הכובד סביב נקודת התלייה הוא -m g l sinθ, ומומנט ההתמד הוא I = m l^2. מכך נובעת המשוואה ההומוגנית m l^2 θ¨ = - m g l sinθ. בקירוב זוויות קטנות (sinθ ≈ θ) מקבלים את משוואת האוסצילטור ההרמוני θ¨ = - (g/l) θ.

הפתרון הוא θ(t) = θ0 sin(ω t + φ), כאשר ω = √(g/l). התדירות היא f = (1/2π) √(g/l), וזמן המחזור T = 2π √(l/g). המרחק האופקי הקרוב משיווי המשקל הוא x ≈ l θ, גם הוא מתנודד הרמונית. תכונה חשובה היא ש-T אינו תלוי במסת המשקולת ובמשרעת, בתנאי הזוויות הקטנות; זו הסיבה שמטוטלות שימשו למדידת זמן.

ניתוח מלא מתחיל במשוואת המומנטים ובקירוב לחוט חסר מסה ולמסה נקודתית. לאחר הפישוטים מקבלים את המשוואה הלא־ליניארית המקורית עם sinθ. הקירוב הזוויתי מפשט אותה לאוסצילטור הרמוני כפי שתואר.

במישור הפאזה (גרף של זווית מול מהירות זויתית) קיימת הפרדה בין אזורים תנועתיים. הפרדה זו נקראת ספרטריקס (separatrix) והיא קשורה לערכי האנרגיה של המערכת.

ללא קירוב הזוויות הקבועות, הפתרון אינו נכתב בעזרת פונקציות אלמנטריות. שימוש בשימור אנרגיה נותן ביטוי ל-dθ/dt כתלות בהפרש הגובה Δh = l(cosθ - cosθ0). זמן המחזור נכתב כאינטגרל על רבע מחזור וכפול ארבע. את האינטגרל הזה אפשר להביע באמצעות האינטגרל האליפטי של לז'נדר מהסוג הראשון. בטרמינולוגיה פורמלית:
T = 4 √(l/g) F(sin(θ0/2), π/2).
הפתרון המדויק נחוץ כאשר המשרעת גדולה; עד זווית מפתח של כ-30 מעלות, הקירוב הסינוסי נותן שגיאה קטנה מ־2%.

מטוטלת בעלת N מתנדים צמודים היא רצף של מתנד אחד המחובר לסוף המתנד שלפניו. מספר האופנים העצמיים שווה בדיוק ל-N. האופנים העצמיים הם דפוסי התנודה שבהם המערכת חוזרת למבנה המרחבי שלה. ככל שמוסיפים מתנדים, מספר האופנים גדל; הפרש הערכים בין אופנים סמוכים קטן, ובמקביל הערכים מתפזרים.

את המשוואות מקבלים בעזרת משוואות אוילר, לגראנז'. האנרגיה הקינטית והפוטנציאל מוגדרות, ובחישוב הנגזרות המתקבלות שתי משוואותcoupled הכוללות זוויות ומהירויות. לאחר קירוב לזוויות קטנות מתקבלות משוואות ליניאריות מקוטבות, המסומנות (2,1) ו-(2,2), שמקשרות את ההאצה הזוויתית של כל מתנד לזו של האחר ולכוח הכובד.

באותו אופן מקבלים שלוש משוואות ליניאריות מקוטבות, המסומנות (3,1), (3,2) ו-(3,3). הן מבטאות כיצד האצה זוויתית של כל קודקוד תלויה בשאר המערכת ובכוח הכובד.

ניתן לנסח נוסחה כללית למשוואות הקשורות לכל מתנד k במערכת בתלות באורכי המוטות, המסות והזוויות. הביטוי הכללי נותן סכומי משקלים שמייצגים את ההשפעה ההדרגתית של מתנדים מתחת לכל נקודה.

מטוטלת מתמטית היא משקול קטן על חוט דק. החוט נחשב בלי מסה. המשקול הוא נקודה קטנה.

היא מתנדנדת קדימה ואחורה על קשת סביב נקודת התלייה. אם משחררים אותה היא חוזרת שוב ושוב. כשהזווית קטנה, זמן כל תנודה תלוי רק באורך החוט ובכוח הכבידה. כלומר חוט ארוך מתנדנד לאט.

תכונה חשובה: זמן התנודה לא תלוי במסת המשקולת. לכן מטוטלות שימשו למדידת זמן בעבר.

כשמשרעת התנודה קטנה, תנועת המשקול היא תנודה רגילה וחוזרת על עצמה בקצב קבוע. אם הזווית גדולה יותר, החישוב הופך למורכב ויש להשתמש בכלים מתמטיים מיוחדים. כלי כזה נקרא אינטגרל אליפטי, זה שם למחשוב מדויק של זמן התנודה במשרעות גדולות.

הדרך המדויקת משתמשת בשימור אנרגיה כדי למצוא מהירות וזמן. מקבלים ביטוי של אינטגרל כדי לחשב את זמן המחזור במשרעה נתונה. לקירוב הזוויתי הקטן אין שגיאה גדולה עד בערך של שלושים מעלות.

כשמחברים כמה מטוטלות זו לזו, יש הרבה דפוסי תנודה. מספר הדפוסים שווה למספר המטוטלות. כל דפוס מראה איך כל המשקולות רועדות ביחד.

לשניים שמחוברים יש שתי משוואות שמקשרות ביניהם. אחרי פישוטים מקבלים משוואות פשוטות שמראות כיצד כל מתנד משפיע על השני.

לשלושה מתקבלות שלוש משוואות דומות. הן מסבירות את הקשר בין שלושת הזוויות בתנועה.

בעזרת הכללים שלעיל אפשר לכתוב נוסחה כללית לכל מספר מטוטלות. הנוסחה משלבת את אורכי המוטות ואת המסות, ומראה איך כל חלק משפיע על השאר.