מכפלה סקלרית

מכפלה סקלרית היא פעולה על שני וקטורים במרחב האוקלידי שמחזירה מספר (סקלר). וקטור, יש לו אורך וכיוון. סקלר, מספר רגיל. סימון מקובל הוא a·b, ובאנגלית השם Dot product.

המכפלה הסקלרית מתוארת בדרך גאומטרית ובדרך אלגברית שקולות זו לזו.

לשני וקטורים a ו-b המכפלה הסקלרית שווה למכפלת האורכים שלהם ולהקוסינוס של הזווית ביניהם:
a·b = |a| |b| cos θ.
זה אומר שאם הזווית קטנה התוצאה חיובית, אם הזווית היא 90 מעלות התוצאה אפס, ואם הזווית קהה התוצאה יכולה להיות שלילית.

אם הווקטורים מיוצגים ברשימות קואורדינטות a=(a1,...,an) ו-b=(b1,...,bn), אז
a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn.
הגדרה זו נכונה בכל מימד. אפשר להגדיר גם זווית בין וקטורים בעזרת יחס זה, בזכות אי־השוויון קושי־שוורץ (Cauchy, Schwarz). קושי־שוורץ הוא כלל מתמטי שמבטיח שהיחס בין המכפלה לסכום האורכים תמיד בין −1 ל־1, ולכן ניתן להפיק את הקוסינוס של הזווית.
במרחב תלת־ממדי עם בסיס אורתונורמלי (בסיס של וקטורים ניצבים ובעלי אורך 1) הנוסחה הופכת לפשוטה: a·b = axbx + ayby + azbz.

המכפלה הסקלרית סימטרית: a·b = b·a. היא גם ביליניארית, כלומר מתפלגת על חיבור ומאפשרת הוצאת סקלר מחוץ למכפלה.
כשהמכפלה בין שני וקטורים היא 0, הם ניצבים זה לזה. במרחבים כלליים מצב זה נקרא אורתוגונליות.

המכפלה הסקלרית עם וקטור יחידה נותנת את ההיטל (projection) של וקטור בכיוון זה. וקטור יחידה הוא וקטור שאורכו 1. ההיטל מראה כמה מהווקטור “מצביע” בכיוון המבוקש.

בפיזיקה, עבודה של כוח קבוע על גרירה שווה ל־כוח · העתקה (מכפלה סקלרית). בתוכנה משתמשים בה כדי לבדוק דמיון בין וקטורים נורמלים (של אורך 1), מה שנקרא לעתים "cosine similarity".

מכפלה סקלרית היא דרך להשיג מספר משני חיצים (וקטורים).
וקטור הוא חץ עם כיוון ואורך. התוצאה היא מספר אחד.

יש שתי דרכים להביט על זה: דרך הצורה של החצים ודרך הרשימות של המספרים שלהם.

המכפלה תלויה באורכים של שני החיצים ובזווית ביניהם.
אם החיצים באותו כיוון התוצאה גדולה וחיובית.
אם הם ניצבים זו לזו התוצאה תהיה אפס.
אם הם בכיוונים הפוכים התוצאה שלילית.

אם כותבים את המרכיבים של כל חץ כמספרים, מכפילים כל זוג מקביל ואז מחברים.

המכפלה לא משנה אם מחליפים בין החיצים.
אם התוצאה היא אפס, החיצים ניצבים זה לזה.

המכפלה מראה כמה מהחץ השני "נופל" או "נשאר" בכיוון של החץ הראשון. זה כמו צל או היטל של חץ על קו.

בפיזיקה משתמשים בה לחישוב עבודה.
בתוכנות ובחיפוש משתמשים בה להשוות אם שני כיוונים דומים.