מרחב טופולוגי

מרחב טופולוגי הוא מבנה כללי שמגדיר מושגים כמו התכנסות, קשירות, רציפות והפרדה בין נקודות.
מרחב טופולוגי מורכב מקבוצה X ומשפחה τ של תתי‑קבוצות של X שמקיימת שלושה כללים:
1. הקבוצה הריקה ו‑X שייכות ל‑τ.
2. איחוד של כל קבוצות ב‑τ שייך ל‑τ.
3. חיתוך של שתי קבוצות ב‑τ שייך ל‑τ (וממילא חיתוך סופי של קבוצות ב‑τ גם שייך).
הקבוצות שב‑τ נקראות "פתוחות". קבוצה שהמשלים שלה פתוח נקראת "סגורה". את τ קוראים הטופולוגיה על X.
כל מרחב מטרי, מרחב עם מרחק, נותן טופולוגיה על ידי הקבוצות הפתוחות שהוא יוצר. אפשר לתאר טופולוגיה דרך בסיס: אוסף של קבוצות שהאיחודים שלהם נותנים את כל הפתוחות. תת‑בסיס היא אוסף קטן יותר שהחיתוכים הסופיים שלו יוצרים בסיס. ניתן גם לבנות מרחבים חדשים ממוצרים ומחלקות (מנה).
הטופולוגיה הפשוטה ביותר: τ={X, ∅}. היא תמיד טופולוגיה. על מרחב עם יותר מנקודה אחת היא לרוב אינה מטריזבילית, למשל אינה האוסדורף (לא מפרידה נקודות היטב).
הטופולוגיה שבה כל תת‑קבוצה של X פתוחה. זו טופולוגיה שמתקבלת ממטריקה דיסקרטית, ולכן תמיד מטריזבילית.
כאן פתוחות הן הקבוצות שהמשלים שלהן סופי, או הקבוצה הריקה. על מרחב אינסופי טופולוגיה זו חזקה יותר מהטריוויאלית, חלשה יותר מהדיסקרטית, ובדרך כלל אינה האוסדורף.

מרחב טופולוגי הוא דרך לארגן נקודות ולדבר על קרבה והפרדה.
יש אוסף נקודות וקבוצה של קבוצות שאותן קוראים "פתוחות". (פתוחה, קבוצת נקודות שאותה מאפשרים לשקול בלי לצאת ממנה.)
כללים פשוטים חייבים להתקיים: ריקה וכל היחידה (כל הנקודות) פתוחות, איחוד של פתוחות פתוח, וחיתוך של שתי פתוחות פתוח.
קבוצה שהמשלים שלה פתוח נקראת "סגורה". (משלים, כל הנקודות שלא נמצאות בקבוצה.)
יש רק שתי קבוצות פתוחות: כל הנקודות והקבוצה הריקה.
כאן כל תת‑קבוצה פתוחה. זאת אומרת אפשר לבחור כל קבוצה שתרצו והיא פתוחה.
בקבוצה זו כל קבוצת נקודות שיש לה משלים קטן (מספרי) פתוחה. בטבע יש הבדלים בין הדוגמאות האלה.