משפט בנך-אלאוגלו

משפט בנך-אלאוגלו קובע שכדור היחידה הסגור במרחב הדואלי של מרחב בנך הוא קומפקטי בטופולוגיה החלשה-*. קומפקטי שם לכך שמכל כיסוי פתוח אפשר לחלץ כיסוי סופי.

יהי X מרחב וקטורי טופولوجי נורמי (למשל מרחב בנך), ויהי X* המרחב הדואלי שלו. המרחב הדואלי כולל את כל הפונקציונלות הליניאריות הרציפות על X.

קיים שקיעה טבעית של X לתוך המרחב הכפול X** בעזרת אופרטורי הערכה נקודתית: לכל x ב-X מגדירים T_x שמקבל פונקציונל f ומחזיר את הערך f(x). כל T_x הוא פונקציונל ליניארי רציף.

הטופולוגיה החלשה-* היא הטופולוגיה החלשה ביותר על X* שעושה את כל אופרטורי ההערכה T_x רציפים. אפשר גם לתאר אותה על ידי סמינורמות ρ_x(f)=|f(x)|. זוהי טופולוגיה חלשה יותר מהטופולוגיה הנורמית של הנורמה האופרטורית.

במרחב בנך, הכדור היחידה הסגור של X*, ביחס לטופולוגיה הנורמית, הוא קומפקטי ביחס לטופולוגיה החלשה-*.

לכל x ב-X נעשה אינטרוול I_x שבין המינוס לבין הפלוס של הנורמה של x. נבנה את המכפלה K של כל האינטרוולים I_x.

כדור היחידה D של X* מושתל ב-K על ידי שליחת כל פונקציונל f לקטע הערכים (f(x))_{x\in X}. לפי משפט טיכונוף, K קומפקטית כמכפלה של אינטרוולים קומפקטיים.

נשאר להראות ש-D סגורה בתוך K ביחס לטופולוגיה הזו. זה נכון מפני שתכונות לינאריות של פונקציונלים ניתנות לתיאור בעזרת תנאים סגורים, ולכן D סגורה. משם D קומפקטית בטופולוגיה החלשה-*, כפי שרצינו להוכיח.

משפט בנך-אלאוגלו אומר שכדור מיוחד של פונקציות הוא קומפקטי בטופולוגיה חלשה-*. קומפקטי פה אומר שאפשר לכסות אותו עם מעט חלקים.

יהי X מרחב נורמי, ו-X* הוא המרחב של כל הפונקציות הליניאריות והרציפות על X. זו קוראים לה המרחב הדואלי.

לכל נקודה x ב-X יש בדיקה שמודדת כל פונקציה f על ידי הערך f(x). הטופולוגיה החלשה-* בונה את עצמה מהבדיקות האלה.

במרחב בנך, הכדור של כל הפונקציות עם נורמה עד אחד הוא קומפקטי בטופולוגיה חלשה-*.

מגדירים לכל x אינטרוול סגור שסופג את כל הערכים האפשריים של f(x). לוקחים את המכפלה של כל האינטרוולים האלה.

לפי טיכונוף, המכפלה הזו קומפקטית. הכדור של הפונקציות נכנס לתוך המכפלה הזו והוא סגור שם. לכן גם הכדור קומפקטי.