סימן לז'נדר

סימן לז'נדר (על שם המתמטיקאי אדריאן-מארי לז'נדר) הוא מושג בתורת המספרים.
הוא מופיע בהקשר של פירוק לגורמים ובשאלת שאריות ריבועיות.
יהי p מספר ראשוני אי־זוגי ויהי a מספר שלם.
הסימן (a/p) מקבל את הערכים 1, 0 או −1.
המשמעות: 1 אם a הוא שארית ריבועית מודולו p, 0 אם a מתחלק ב‑p, ו־−1 אחרת.
הגדרתו המקורית: (a/p) ≡ a^{(p-1)/2} (mod p), כאשר (a/p) ∈ {−1,0,1}.
תכונה חשובה היא כפיפות לכפל: (ab/p) = (a/p)(b/p).
עוד עובדות בסיסיות: (1/p) = 1.
(-1/p) = (−1)^{(p-1)/2}, לכן הוא 1 כאשר p ≡ 1 (mod 4) ו־−1 כאשר p ≡ 3 (mod 4).
(2/p) = (−1)^{(p^2-1)/8}, והוא תלוי ב‑p מודולו 8 (1 או −1 לפי השארית).
קיימות נוסחאות דומות עבור בסיסים אחרים כמו 3 ו‑5.
משפט ההדדיות הריבועית מקשר בין (p/q) ל־(q/p): (p/q)(q/p) = (−1)^{((p-1)/2)((q-1)/2)}.

סימן לז'נדר הוא סימן במתמטיקה.
קוראים לו על שם המתמטיקאי לז'נדר.
הסימן עוזר לדעת אם מספר הוא שארית ריבועית.
שארית ריבועית היא שארית שנוצרת כשמכפילים מספר בעצמו.
יהי p מספר ראשוני אי‑זוגי. יהי a מספר שלם.
הסימן (a/p) נותן 1, 0 או −1.
1 אומר: כן, a הוא שארית ריבועית.
0 אומר: a מתחלק ב‑p.
−1 אומר: לא, a לא שארית ריבועית.
הסימן מסתדר טוב עם כפל: אם a ו‑b שאריות ריבועיות, גם ab שארית ריבועית.
(1/p) תמיד שווה 1.
ערך של (−1/p) תלוי ב‑p לפי חלוקה ב‑4.
קיים גם כלל שמקשר בין (p/q) ל‑(q/p).