קטע (מתמטיקה)

בגאומטריה, קטע הוא קבוצת כל הנקודות על ישר שנמצאות בין שתי נקודות שונות. שתי נקודות אלה נקראות קצות הקטע או נקודות קצה. אם הקטע כולל את שתי נקודות הקצה הוא נקרא קטע סגור. אם אינו כולל אותן הוא נקרא קטע פתוח. אם הוא כולל בדיוק נקודת קצה אחת הוא קטע פתוח למחצה או סגור למחצה.

גם הקבוצה הריקה, נקודה בודדת, קרן (קבוצה של נקודות מצד אחד שאין לה גבול מהצד השני) והישר כולו נחשבים לקטעים במובן הרחב.


כאשר המרחב הוא הישר הממשי, קטעים מתוארים כמערך של מספרים ממשיים בין a ל-b. סימון מקובל הוא (a,b) עבור קטע שאינו כולל את הגבולות, ו-[a,b] עבור קטע שכולל את שני הגבולות. לעתים משתמשים בסוגר מרובע הפוך ]a,b[ כדי לציין קצה פתוח בלי בלבול עם סימונים אחרים.

יש מספר סוגי קטעים נפוצים: (a,b) פתוח, [a,b] סגור, [a,b) ו-(a,b] חצאי-פתיחות, (a,∞) ו-[a,∞) קרנות מימין, (-∞,b) ו-(-∞,b] קרנות משמאל, (-∞,∞) שהוא כל הממשיים, [a,a] שהוא נקודה בודדת, ו-(a,a) שהוא הקבוצה הריקה.

סוגר מרובע מציין שהנקודה שייכת לקטע; סוגר עגול מציין שהיא אינה שייכת. חלק מהקטעים נחשבים פתוחים, אחרים סגורים, ויש כאלה שהם גם פתוחים וגם סגורים בו-זמנית. הקטעים (a,b), [a,b], [a,b) ו-(a,b] הם קטועים חסומים; לשארם יש גבולות שאין להם.

המשך חשוב של קטעים הוא האורך: עבור קטע חסום בין a ל-b, האורך מוגדר כל-I- כ b-a. קטעים הם קבוצות פשוטות למדידה, ולכן הם משמשים בתורת האינטגרציה כדי להגדיר "גודל" או "מידה". מושג המידה נרחב לקבוצות מורכבות יותר, ומוביל למידת בורל ולבסוף למידת לבג.

קטעים הם גם תתי-קבוצות קשירות וקמורות של הממשיים. מכיוון שתמונה רציפה של קבוצה קשירה היא קשירה, אם f היא פונקציה רציפה ו-I קטע, אז התמונה f(I) גם היא קטע. זהו נוסח של משפט ערך הביניים, שאומר שעל פונקציה רציפה לעבור בכל הערכים שבין שני ערכים נתונים.

קטע הוא כל הנקודות שנמצאות בין שתי נקודות על ישר. שתי הנקודות האלה נקראות קצות הקטע. אם הקטע כולל את שתי הקצות הוא סגור. אם הוא לא כולל אותן הוא פתוח. אם הוא כולל רק קצה אחד הוא חצי-פתוח.

גם קבוצה ריקה, נקודה בודדת, קרן (קטע שלא נגמר בצד אחד) והישר כולו נחשבים לקטעים.


בערכים, קטע הוא כל המספרים בין a ל-b. (10,20) אומר את כל המספרים בין 10 ל-20, בלי 10 ו-20. [10,20] כולל גם את 10 וגם את 20. לפעמים כותבים ]10,20[ במקום (10,20).

יש גם קרנות כמו (a,∞) או (-∞,b]. הקטע [a,a] הוא רק הנקודה a. הקטע (a,a) הוא ריק.

סוגר מרובע אומר שהנקודה שייכת לקטע. סוגר עגול אומר שלא שייכת. האורך של קטע חסום בין a ל-b הוא b-a. קטעים חשובים כי מהם לומדים למדוד אורך ומושגים כמו מידת קבוצות. עוד דבר מעניין: אם פונקציה רציפה מקבלת ערכים בשני קצוות הקטע, היא מקבלת גם את כל הערכים שביניהם.