ראשוניים תאומים

ראשוניים תאומים הם זוג מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2.
פרט ל-2, כל הראשוניים הם אי-זוגיים, ולכן המרחק בין שני ראשוניים חייב להיות זוגי. לכן 2 הוא ההפרש הקטן האפשרי (למעט המקרה 2 ו-3).
דוגמאות ראשונות: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19) ו-(29,31).
המספר שבאמצע זוג תאומים מתחלק תמיד ב-6, חוץ מן הזוג (3,5).
נכון לאפריל 2012, הראשוניים התאומים הגדולים הידועים הם 3756801695685·2^{666669}±1, והם כוללים 200,700 ספרות.
לא ידוע אם יש אינסוף ראשוניים תאומים. זו השערת המספרים הראשוניים התאומים.
צורה חזקה יותר של ההשערה היא השערת הארדי, ליטלוווד. לפי ההשערה, מספר הזוגות הקטן מ-x קרוב ל-C·x/ln(x)^2, כאשר C קבוע חיובי ו-ln(x) הוא הלוגריתם הטבעי של x. במילים פשוטות: ההסתברות ש‑x ו‑x+2 יהיו שניהם ראשוניים יורדת בקירוב לפי 1/ln(x)^2.
ב-1919 הוכיח המתמטיקאי ברון שמספר הראשוניים התאומים עד x קטן מ‑x/ln(x)^2. מפועל זה נובע שסכום ההופכיים של הראשוניים התאומים מתכנס לערך סופי. (ההופכי של n הוא 1/n.) משמעות הדבר היא שראשוניים תאומים אינם שכיחים מאוד, אך ההוכחה לא אומרת שהם מסתיימים.
שלישיה של מספרים p,p+2,p+4 ששלושתם ראשוניים קיימת רק פעם אחת: 3,5,7. אם p>3, אז אחד השלושה יתחלק ב-3 ולא יהיה ראשוני.
יש דפוסים אחרים, למשל p,p+2,p+6 או p,p+4,p+6, שאפשר שמספריהם יהיו כולם ראשוניים. דוגמאות: 11,13,17 ו-37,41,43. מחקרנים משערים שאם דפוס אינו בלתי-אפשרי בגלל שאריות לחלוקה, ייתכנו אינסוף מקרים כאלו.
ב-12 באפריל 2013 הוכח שקיימים אינסוף זוגות ראשוניים שההפרש ביניהם קטן מ‑70,000,000.

ראשוניים תאומים הם שתי מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2.
ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב-1 ובו עצמו.
דוגמאות פשוטות: 3 ו-5, 5 ו-7, 11 ו-13.
המספר שבאמצע בדרך כלל מתחלק ב-6. יוצא דופן הוא הזוג 3 ו-5.
ב-2012 מצאו זוג עצום: 3756801695685·2^{666669}±1. הזוג הזה מכיל 200,700 ספרות.
איננו יודעים אם יש אינסוף ראשוניים תאומים. רוב המתמטיקאים חושבים שכן.
המתמטיקאי ברון הראה שה"הופכיים" שלהם מתכנסים. הופכי של מספר הוא 1 לחלק במספר.
משמעות הדבר היא שראשוניים תאומים לא מופיעים בתדירות גבוהה מאד.
אין שלישיות שלמות של צורה p,p+2,p+4 פרט ל-3,5,7. הסיבה: באחת מהן מספר מתחלק ב-3.
ב-2013 הוכח שיש אינסוף זוגות שהמרחק ביניהם קטן מ-70,000,000.