שיטת מונטה קרלו

שיטת מונטה קרלו היא דרך לפתור בעיות חישוביות על ידי שימוש במספרים אקראיים. במקום לבצע חישוב דטרמיניסטי יחיד, המחשב מגריל הרבה ערכים אקראיים ומחשב עליהם תוצאות. בכך אפשר ללמד את ההתנהגות של מערכות מורכבות מבלי לפתור את המשוואות בדיוק.

השיטה שימושית כשיש מערכות עם הרבה דרגות חופש, כלומר הרבה משתנים התלויים זה בזה, כמו בהידרודינמיקה, מבנים תאיים או פיזיקת חלקיקים. משתמשים בה גם לחישוב אינטגרלים רב־ממדיים, כלומר חישוב של סכומים או שטחים במרחבים עם הרבה כיוונים. בדרך כלל שיטות מונטה קרלו חוסכות זמן חישוב ומספקות הערכה טובה כאשר פתרון מדויק קשה או בלתי מעשי.

השם ניתן על ידי פיזיקאים במעבדה לוס אלמוס, בהשפעת הטכניקה האקראית ומוניטין הקזינו במונטה קרלו. בין החלוצים אפשר להזכיר את אנריקו פרמי ו[ג'] פון נוימן.

בדרך כלל אלגוריתמי מונטה קרלו פועלים כך:
1. מגדירים מרחב של קלטים אפשריים.
2. בוחרים קלטים מתוך המרחב לפי פונקציית הסתברות, חוק שמגדיר איך לבחור נקודות אקראיות.
3. מבצעים חישוב דטרמיניסטי על כל קלט נבחר.
4. אוספים סטטיסטיקה מהתוצאות ומסיקים מסקנה.

דוגמה פשוטה היא חישוב מקורב של פאי. מציירים ריבוע ומעגל פנימי. משליכים חצים באופן אקראי על הריבוע. בודקים כמה חצים נפלו בתוך המעגל מול סך החצים בריבוע. אחרי הרבה הטלות היחס בין הפגיעות בתוך המעגל לסך הפגיעות שואף ליחס בין שטחי המעגל והריבוע. יחס זה שווה לכ־π/4, ולכן הכפלה ב־4 נותנת הערכת π. סימולציה במחשב עושה את ההטלות האקראיות מהר ובקלות.

לסיכום, שיטות מונטה קרלו הן כלי חזק לפתרון בעיות שבהן יש אי־ודאות או מורכבות גבוהה. הן פשוטות למימוש ומרובות יישומים בפיזיקה ובמתמטיקה חישובית.

שיטת מונטה קרלו משתמשת במספרים אקראיים כדי לפתור בעיות. "אקראי" אומר שבוחרים בלי דפוס וקשה לנבא את הבחירה.

הרעיון פשוט: מגרילים הרבה תשומות אקראיות, עושים חישוב על כל אחת, וסופרים את התוצאות. אחרי הרבה ניסיונות מקבלים תשובה שמשקפת את ההתנהגות הכללית.

שימושים נפוצים: סימולציות של תהליכים מדעיים, חישוב סיכונים וחישובים שקשה למצוא להם פתרון מדויק.

1. מגדירים את כל האפשרויות שקלט יכול להיות.
2. בוחרים נקודות באקראי לפי חוק בחירה (פונקציית הסתברות).
3. עושים חישוב ידוע על כל נקודה.
4. סופרים ומסתכלים על התוצאות.

מדמיינים ריבוע שבתוכו מעגל. זורקים חצים על הריבוע באופן אקראי. מחשבים כמה חצים נחתו בתוך המעגל. היחס בין הפגיעות בעיגול לסך הפגיעות בריבוע שואף ליחס בין השטחים של המעגל והריבוע. אפשר להכפיל בתוצאה כדי לקבל הערכה של פאי. המחשב יכול לחקות את ההטלות האקראיות בקלות.

שיטה זו עוזרת לקבל תשובות טובות בעזרת ניסויים חוזרים, גם כשאין נוסחה פשוטה לבעיה.