תבנית ביליניארית

תבנית ביליניארית היא פונקציה B: V × V → F, ליניארית בכל אחד מהמשתנים. כאן F הוא שדה (מערכת של מספרים עם חיבור וכפל), ו‑V מרחב וקטורי (קבוצה של וקטורים שאפשר לחבר ולכפול בסקלרים מ‑F).

תבנית ביליניארית מגדירה גם תבנית ריבועית Q(x)=B(x,x). מעל שדה שמאפיינו שונה מ‑2 אפשר לשחזר את B מתוך Q בעזרת זהות פולרית: B(x,y)=½(Q(x+y)−Q(x)−Q(y)). לכן, כשאינו מאפיין 2, תבניות ביליניאריות סימטריות ותבניות ריבועיות למעשה זהות. במאפיין 2 יש הבדלים חשובים.

במובן הליניארי, עבור כל v הפונקציות w↦B(v,w) ו‑w↦B(w,v) שומרות על חיבור וכפל בסקלר. דוגמה חשובה היא מכפלה פנימית על ממשיים. על שדה המרוכבים מקבלים דגם הרמיטיאני (Hermitian).

אפשר להכליל ל‑B: V × W → F כאשר V ו‑W מרחבים קודמים או דואליים, ויש גם את המושג אופרטור ביליניארי להעתקות לכיוון מרחב שלישי.

לכל בסיס S של V יש מטריצה מייצגת [B]_S = (B(b_i,b_j)). מעבר לבסיס אחר משנה את המטריצה ל‑P [B]_S P^{tr}, כאשר P הפיכה. לכן אפשר לכתוב בדרך כלל B(u,v)=u^T M v. מעל שדה סדור כמו R, המטריצה מגדירה מכפלה פנימית בדיוק אם היא חיובית מוגדרת.

אוסף כל התבניות על V יוצר מרחב וקטורי מממד n^2, המסומן Bil(V). יש תת‑מרחבים של תבניות סימטריות (Sym), אנטי‑סימטריות (Asym) ומתחלפות (Alt). במאפיין שונה מ‑2 יש פירוק Bil = Sym ⊕ Alt, ו‑Asym = Alt. במאפיין 2 המערכות הללו מתנהגות אחרת: Alt ⊂ Sym ו‑Asym = Sym.

פירוק אורתוגונלי V = V_1 ⊕ V_2 אומר ש‑B(V_1,V_2)=B(V_2,V_1)=0. זה מאפשר לפרק את התבנית לסכום על תתי‑מרחבים. תבנית חד‑ממדית מסומנת ⟨a⟩. סכום אורתוגונלי של חד‑ממדיים נקרא תבנית אלכסונית ⟨a_1,…,a_n⟩.

הרדיקל השמאלי rad_ℓ(B) = {x | B(x,V)=0} והרדיקל הימני rad_r(B) = {x | B(V,x)=0} יש להם אותו ממד. אם B סימטרית, הם שווים. תבנית נקראת רגולרית (או לא מנוונת) אם הרדיקל שלה = {0}; אחרת היא סינגולרית. זאת שקולה לכך שהמטריצה המייצגת הפיכה.

וקטור x נקרא איזוטרופי אם B(x,x)=0. אם אין וקטור כזה מלבד 0, התבנית אנאיזוטרופית. עבור תבנית רגולרית, ממד תת‑מרחב איזוטרופי לא עולה על חצי מממד V. אם יש תת‑מרחב איזוטרופי שממנו חצי מממד V, קוראים לתבנית מטאבולית (metabolic).

המישור ההיפרבולי מוגדר על‑ידי המטריצה [[0,1],[1,0]] ומסומן ℍ. סכום אורתוגונלי של העתקים של ℍ נקרא מרחב היפרבולי. בכל מאפיין שונה מ‑2 כל מישור מטאבולי הוא היפרבולי, וכל מרחב היפרבולי הוא מטאבולי. במאפיין 2 יש מצבים שונים במעט.

כל תבנית רגולרית סימטרית ניתנת לפירוק אורתוגונלי לשתי חלקים: חלק אנאיזוטרופי יחיד וחלק מטאבולי. לפי משפט ויט, בפירוק הזה החלק האנאיזוטרופי יחיד כאשר מאפיין השדה שונה מ‑2. במאפיין 2 החלק המטאבולי אינו בהכרח יחיד.

תבנית ביליניארית היא חוק שנותן מספר לכל שני וקטורים. וקטור הוא חפץ שאפשר לחבר. השדה הוא קבוצה של מספרים.

התכונה העיקרית: התוצאה משתנה בצורה פשוטה כשמוסיפים וקטורים או כופלים במספרים. זאת אומרת ליניארית בכל אחד מהכניסות.

כל תבנית ביליניארית יוצרת גם תבנית ריבועית Q שמקבלת וקטור x ומחשבת Q(x)=B(x,x). אם השדה אינו מאפיין 2 (כלומר לא קורה שם עניין מיוחד בחיבור), אפשר לשחזר את B מ‑Q בעזרת נוסחה מיוחדת.

דוגמה מוכרת היא המכפלה הפנימית במרחב הרגיל. על שדה המרוכבים מקבלים חוק שמקבל את הקונجוגטה (זה נקרא הרמיטיאני).

כל תבנית ניתנת לייצוג על ידי מטריצה, ביחס לבחירת בסיס. כשמשנים בסיס, המטריצה משתנה בהתאם. לכן אפשר לחשוב על B בעזרת מטריצה M ולכתוב B(u,v) בעזרת מכפלות של וקטורים במטריצה.

הרדיקל הוא קבוצת הוקטורים x שמקיימים B(x,y)=0 לכל y. אם הרדיקל רק האפס, קוראים לתבנית רגולרית. אחרת היא סינגולרית.

וקטור איזוטרופי הוא וקטור שעבורו B(x,x)=0. אם אין אף וקטור כזה חוץ מאפס, קוראים לתבנית אנאיזוטרופית. תבנית מטאבולית היא כזו שיש בה תת‑מרחב גדול שכל הוקטורים בו איזוטרופיים.

המישור ההיפרבולי הוא דוגמה פשוטה בגודל 2 עם מטריצה שמקשרת בין שתי הציריות. סכום של מישורים כאלה נקרא מרחב היפרבולי.

משפט ויט אומר שכל תבנית רגולרית סימטרית ניתנת לפירוק לשני חלקים: חלק שבו אין וקטורים איזוטרופיים (אנאיזוטרופי), וחלק שהוא מטאבולי. כשמאפיין השדה שונה מ‑2, החלק האנאיזוטרופי הוא יחיד.