מרחב מטרי
מרחב מטרי הוא קבוצה שיש עליה דרך למדוד מרחקים. הדרך הזאת נקראת מטריקה. מטריקה אומרת כמה שתי נקודות קרובות או רחוקות. הישר הוא דוגמה פשוטה: המרחק בין מספרים מוכר לכולנו. גם המישור או המרחב סביבנו הם דוגמה. על כדור אפשר למדוד מרחק על ידי הקשת הקצרה שמחברת שתי נקודות. אפשר גם להגדיר מטריקה פשוטה: מרחק...
משפט ההעתקה הפתוחה
אם יש פעולה ליניארית A שמחברת בין שני מרחבים גדולים שנקראים מרחבי בנך (Banach). מרחב בנך הוא מקום שאפשר למדוד בו מרחק, והשמות המיוחדים אומרות שהמרחב "מושלם" מבחינת התכנסות. אם A מגיעה לכל נקודה ביעד (על), אז כל קבוצה פתוחה במקור תופיע בתור קבוצה פתוחה ביעד. מספיק להראות שזה נכון בשביל כדור פתוח ש...
קבוצה פתוחה
קבוצה פתוחה היא קבוצה ש"יש לה סביב כל נקודה כדור". כדור זה הוא כל הנקודות שקרובות למרכז עד מרחק קבוע. מרחב מטרי הוא מקום עם מדד מרחק בין נקודות. אם לכל נקודה בקבוצה אפשר למצוא כדור קטן שנשאר בתוך הקבוצה, הקבוצה פתוחה. אנשים אומרים שזה אומר שאין "קצוות": אפשר לזוז קצת מכל נקודה בלי לצאת. דוגמה פשוטה:...
כדור (טופולוגיה)
במרחב metrי (מרחב שבו מודדים מרחק) כדור הוא כל הנקודות שמרחקן מהמרכז קטן מרדיוס נתון. כדור פתוח עם רדיוס r ומרכז p מסומל B_r(p). זה אומר: כל נקודה שהמרחק שלה מ-p קטן מ-r שייכת לכדור. כאן d היא פונקציית המרחק, שהיא דרך למדוד מרחק בין נקודות. במישור הרגיל, המרחק הוא אורך הקו הישר שמחבר בין שתי נקו...