אגד וקטורי

אגד וקטורי הוא מבנה שמצמיד למכלול נקודות X מרחבים וקטוריים (כלומר קבוצות של וקטורים).
בכל נקודה יש "סיב", מרחב וקטורי מממד קבוע r. יש העתקה רציפה \pi\:E\to X שמקשרת בין E לנקודות ב-X.
באופן מקומי האגד נראה בדיוק כמו מכפלה של קבוצה פתוחה ב-X עם \mathbb{R}^r. התצוגות המקומיות הללו נקראות טריוויאליזציות מקומיות.

הרעיון הוא שברמה המקומית כל אגד וקטורי דומה לאגד טריוויאלי X\times\mathbb{R}^r.
זה אומר שלכל נקודה יש סביבה U כך שהחלק של E שמעל U דומה ביתר ליניארית ל-U\times\mathbb{R}^r.
כאשר שתי טריוויאליזציות חופפות, המעבר ביניהן תלוי באופן רציף (או חלק) על הנקודה, והוא ליניארי בוקטורים.

אם X היא יריעה דיפרנציאלית (manifold, אובייקט גאומטרי שנראה מקומית כמו מרחב), אז נדרוש תנאים חלקים נוספים:
E תקבל מבנה של יריעה, \pi תהיה חלקה, והטריוויאליזציות יהיו דיפאומורפיזמים (עבור כל נקודה המעבר החלק הוא מטטריקס תלוי נקודה).
המעבר בין טריוויאליזציות נכתב כדבר שמכפיל את הווקטור במטריצה שנקראת f_{U,V}(x). הפונקציה הזו צריכה להיות חלקה ולערוך ערכים ב-GL(r,\mathbb{R}).
ניתן להגדיר גם אגד וקטורי אנליטי או הולומורפי באותו רעיון.

אגד וקטורי מממד 1 נקרא אגד קווי (line bundle).

הדוגמה הפשוטה היא האגד הטריוויאלי X\times\mathbb{R}^r, שבו בכל נקודה יש עותק זהה של \mathbb{R}^r.
דוגמה חשובה נוספת היא האגד המשיק של יריעה חלקה: לכל נקודה מתאים המרחב המשיק שלה. אגד זה בדרך כלל אינו טריוויאלי.

חתך (section) מעל קבוצה פתוחה U הוא פונקציה חלקה s\:U\to E כך ש-\pi(s(x))=x לכל x\in U.
לכן חתך בוחר לכל נקודה וקטור בסיב שלה, והוקטורים משתנים באופן חלק מנקודה לנקודה.
ניתן לחבר חתכים, לכפול בסקלר, וקיים חתך האפס. אוסף החתכים מעל U הוא מרחב וקטורי.
בעצם, אלומת החתכים מגדירה את האגד הווקטורי באופן יחיד.

חתך חלק של האגד המשיק נקרא שדה וקטורי.

בהינתן שתי יריעות X_1 ו-X_2 ואגדים חלקים E_1 ו-E_2 מעליהן, מורפיזם של אגדים וקטורים הוא זוג פונקציות חלקות:
פונקציה f בין E_1 ל-E_2 ופונקציה g בין X_1 ל-X_2, שפועלות יחד כמפה בין האגדים.

אגד וקטורי הוא דבר שמצמיד לכל נקודה ב-X קופסא של חיצים. החיצים האלה נקראים וקטורים.
יש מפה שמקשרת כל חץ לנקודה שלו.

בכל מקום קטן סביב נקודה, האגד נראה כמו עותק של קבוצת חיצים מוכרת.
זאת אומרת שיש "תבנית מקומית" שמחזרת את הצורה של האגד.

אם X הוא שטח חלק (יריעה), אז גם האגד צריך להיות חלק מבחינה מתמטית.
המעבר בין התבניות המקומיות צריך להיות חלק ופשוט.

אם בכל נקודה יש רק חץ אחד בלבד, קוראים לזה אגד קווי.

אגד פשוט הוא X×R^r: יש עותק של R^r בכל נקודה.
האגד המשיק נותן בכל נקודה את החיצים שמייצגים את כיוון התנועה במקום הזה.

חתך הוא בחירה של חץ אחד בכל נקודה, שבוחרים בצורה חלקה.
אם החיצים משתנים יפה, זו פונקציה חלקה.
שדה וקטורי הוא חתך של האגד המשיק.

מורפיזם של אגדים הוא זוג של מפות חלקות, אחת בין האגדים ואחת בין הבסיסים.