אופרטור הרמיטי

אופרטור הרמיטי הוא אופרטור ליניארי במרחב מכפלה פנימית, שווה לאופרטור הצמוד שלו. הצמוד (A^*) מוגדר כך שלכל וקטורים x,y מתקיים ⟨Ax,y⟩ = ⟨x,A^*y⟩. כאשר A^*=A אומרים שהאופרטור "צמוד לעצמו".

לאופרטורים הרמיטיים יש תכונה חשובה: כל הערכים העצמיים שלהם (המספרים λ שבהם Av=λv) הם ממשיים. זה נובע ממשפטים ספקטרליים: אופרטורים קומפקטיים וצמודים עצמם ניתנים לככסון אוניטרי, כלומר יש להם בסיס של וקטורים עצמיים אורתוגונליים והם מותחים כל וקטור בגורם ממשי.

כל אופרטור ניתן לפרק לסכום של מרכיב הרמיטי ומרכיב אנטי-הרמיטי לפי A = 1/2(A+A^*) + 1/2(A-A^*). החלק ההרמיטי הוא (A+A^*)/2. גם המכפלות AA^* ו-A^*A הן הרמיטיות. יש להן תכונה בנורמה של אופרטורים: ∥AA^*∥ = ∥A∥^2.

הגדרה של הצמוד ניתנת באמצעות המכפלה הפנימית ⟨·,·⟩. במרחב הילברט חסום של אופרטורים A גם הצמוד A^* חסום.

על המרחב C^n מכפלת הפנימית הסטנדרטית היא ⟨x,y⟩ = Σ x_k ar{y}_k. לאופרטור הכפל במטריצה A מתאים הצמוד A^* = \overline{A}^T - כלומר המטריצה ההצמדה מתקבלת מהשחלוף והצמד מורכב.

בעבור מטריצות ממשיות, הרמיטיות שקולה לסימטריות. מטריצות סימטריות הן לכסינות אורתוגונלית.

האופרטור הזהות id ו-mטריצת היחידה I_n הם הרמיטיים. כל מטריצה סימטרית ב-ℝ^n היא הרמיטית. במרחב C^2 אם A היא מטריצה אז האופרטור הצמוד שלה הוא A^* = \overline{A}^T. מטריצות פאולי σ_x, σ_y, σ_z הן דוגמאות מפורסמות של מטריצות הרמיטיות במכניקת הקוונטים.

דוגמה אופרטורית נוספת היא הנגזרת השנייה d^2/dx^2 על מרחב פונקציות מתאימות שמסתיימות בערכים מתאימים בקצוות. באמצעות אינטגרציה בחלקים מראים שהיא צמודה לעצמה, ולכן הרמיטית.

אופרטור הרמיטי הוא פעולה על וקטורים. וקטור הוא רשימת מספרים. פעולה זו שווה ל"צמוד" שלה. הצמוד הוא אופרטור שמקיים ⟨Ax,y⟩ = ⟨x,A^*y⟩. ההסבר הקצר: הצמוד הוא כמו מראה של הפעולה.

תכונה חשובה: הערכים העצמיים של אופרטור הרמיטי הם תמיד מספרים ממשיים. ערך עצמאי (eigenvalue) הוא המספר λ שעבורו Av = λv.

כשעובדים עם מטריצות (מטריצה היא טבלה של מספרים), האופרטור הצמוד הוא המטריצה שמקבלים על ידי החזרת השורות לעמודות והצמדת המספרים (מעבירים לכל מספר את ההצמד המרוכב שלו). למטריצות ממשיות, להיות הרמיטי זה אותו הדבר כמו להיות סימטרי.

מטריצת הזהות היא הרמיטית. מטריצות פאולי הן מטריצות הרמיטיות נפוצות בפיזיקה. גם אופרטור של גזירה פעמיים יכול להיות הרמיטי אם הפונקציות מתאימות והקצוות מוגדרים נכון.