כפל מטריצות הוא פעולה שמוציאה מטריצה חדשה משתי מטריצות נתונות. כדי שהכפל יהיה מוגדר, מספר העמודות במטריצה הראשונה חייב להיות שווה למספר השורות במטריצה השנייה. במטריצה המתקבלת מספר השורות שווה לזה של הראשונה, ומספר העמודות שווה לזה של השנייה.
הפעולה תוארה לראשונה על ידי ז'אק פיליפ מארי בינט ב-1812, כדי לייצג הרכבה של העתקות ליניאריות. לכן כפל מטריצות חשוב מאוד באלגברה ליניארית ויש לו שימושים במתמטיקה שימושית, בפיזיקה ובהנדסה.
כפל מטריצות מתאים לייצוג הרכבה של טרנספורמציות ליניאריות. הוא אסוציאטיבי (A(BC)=(AB)C) ודיסטריביוטיבי ביחס לחיבור (A(B+C)=AB+AC), אבל אינו קומוטטיבי. כלומר, בדרך כלל AB שונה מ-BA.
אם A היא מטריצה בגודל n×m ו-B היא מטריצה בגודל m×p, אז המכפלה AB היא מטריצה בגודל n×p. כל איבר של AB מתקבל על‑ידי כפל רכיבים תואמים של שורה ב-A ועמודה ב-B, ואז חיבור התוצאות. זו אותה פעולה כמו מכפלה סקלרית (dot product) בין וקטורים.
בשיטה הזו מוכפלים זוגות איברים מתאימים ומשולבים בסכום. לדוגמה, מכפלת מטריצה 2×2 ב-2×2 נותנת מטריצה 2×2, כאשר כל איבר הוא סכום של שתי מכפלות רכיבים.
מטריצת האפס היא מטריצה שכל רכיביה אפס. כפל כל מטריצה במטריצת האפס נותן את מטריצת האפס. מטריצת היחידה היא מטריצה ריבועית עם 1 על האלכסון ואפסים בשאר המקומות. היא הפועלת כנייטרל בכפל: A·I = I·A = A.
כפל שתי מטריצות ריבועיות בגודל n לפי ההגדרה הישנה דורש סדר גודל n^3 פעולות. ב-1969 הראה וולקר שטראסן אלגוריתם יעיל יותר שהוריד את החזקה לכ-2.807. מאוחר יותר הורדו החזקות נוספות עד לכ-2.373, אבל האלגוריתמים האלה הם ברובם תאורטיים.
כפל מטריצות מייצג הרכבה של טרנספורמציות ליניאריות. כאשר מרימים מטריצה על וקטור, הכפל משווה להפעלת הטרנספורמציה על הווקטור. כמו כן, הדטרמיננטה של מכפלה שווה למכפלת הדטרמיננטות.
מכפלת קרונקר (או מכפלה טנזורית) יוצרת מטריצה גדולה יותר על ידי החלפת כל איבר של A במכפלה של אותו איבר במטריצה B. התוצאה היא מטריצה שמורכבת מחסימות של B מוכפלות בערכי A. פעולה זו אינה קומוטטיבית, אבל יש לה חוקים שמקשרים מכפלות קרונקר של מטריצות שונות.
מכפלת אדמר היא כפל איבר-איבר. לשתי מטריצות מאותו גודל מכפילים כל זוג איברים תואמים זה בזה. התוצאה היא מטריצה בגודל המקורי שבה כל איבר הוא המכפלה של האיברים המתאימים.
כפל מטריצות עושה מטריצה חדשה משתי מטריצות. מטריצה היא טבלה של מספרים. הכפל מוגדר רק אם עמודות של הראשונה שוות בשכירן לשורות של השנייה.
כפל מטריצות מייצג הרכבה של פעולות שמופעלות על וקטורים. הוא לא תמיד סימטרי, כלומר AB לא תמיד שווה ל-BA. הוא שומר על חוקים כמו חיבור ואסוציאציה.
כאשר מטריצה A בגודל n×m ומטריצה B בגודל m×p, התוצאה היא מטריצה בגודל n×p. כדי למצוא איבר במיקום מסוים, מכפילים זוגות מספרים מתאימים ומוסיפים את התוצאות.
אם בכל שורה של A יש שני מספרים ובכל עמודה של B יש שני מספרים, מכפילים זוגות של מספרים ושמים את הסכום במיקום המתאים בתוצאה.
מטריצת אפס היא טבלה של אפסים. כפל כל מטריצה באפס נותן אפס. מטריצת יחידה היא טבלה עם 1 רק על הקווים האלכסוניים. כפל במטריצת היחידה משאיר את המטריצה כפי שהיא.
כפל מטריצות גדול לוקח הרבה חישובים. שיטות חכמות מקטינות את העבודה, אבל המתכונים המסובכים לא תמיד משתלמים במציאות.
מכפלת קרונקר יוצרת מטריצה גדולה מחסימות. כל מספר ב-A הופך לחסימה שהיא B מוכפל באותו מספר.
מכפלת אדמר היא כפל כל איבר עם האיבר המתאים שלו במטריצה השנייה. התוצאה היא טבלה חדשה בגודל המקורי.
תגובות גולשים