אינוורסיה (גאומטריה)

בגאומטריה, אינוורסיה (או היפוך) היא העתקה של המישור אל עצמו שמחליפה בין הפנים והחוץ של מעגל נתון C. המושג נחקר לראשונה על ידי יעקב שטיינר בסוף המאה התשע-עשרה.

נניח שמרכז המעגל C הוא O ורדיוסו r. נקודה P מועתקת לנקודה P' שעל הקרן המחברת את O ל-P כך שמכפלת המרחקים |OP|·|OP'| שווה ל-r^2. נקודה שנמצאת על שפת המעגל נשארת ללא שינוי (P'=P). לתיאור מלא מוסיפים למישור "נקודה באינסוף" שהיא התמונה של O.

את האינוורסיה ניתן להגדיר גם ביחס לכדור במרחב תלת־ממדי או בכדור n־ממדי. במישור המרוכב, כאשר המעגל הוא מעגל היחידה, תמונת המספר המרוכב z היא ההופכי של הצמוד שלו: z עובר ל-1/\overline{z} (\overline{z} הוא הצמוד המרוכב של z).

האינוורסיה מחליפה בין פנים לחוץ. היא שומרת על צורות בזווית: שומרת על הזוויות בין ישרים ומעגלים אך הופכת את האוריינטציה (הכוונה: הכיוון מסתובב הפוך). לכן מעגלים שמשיקים למעגל C יועברו למעגלים או ישרים שמשיקים, ומעגלים מאונכים למעגלים מאונכים.

כל מעגל או ישר מועבר תחת אינוורסיה לעוד מעגל או לישר. מעגל שאינו עובר דרך O עובר למעגל אחר שאינו עובר דרך O. מעגל שעובר דרך O מומר לישר שאינו עובר דרך O. ישר שעובר דרך O מועתק אל עצמו. מעגל המוכל בתוך C יועבר למעגל מחוץ ל-C, ולהפך. כאשר מעגל E מועבר ל-E' דרך אינוורסיה במעגל O, שלושת המעגלים O, E ו-E' חולקים את אותו ציר רדיקלי (קו המתאר את המשותף בין המעגלים).

באמצעות אינוורסיה אפשר להחליף כל זוג מעגלים זה בזה על ידי בחירת מעגל אינוורסיה מתאים. אם המעגלים זרים או משיקים יש מעגל אינוורסיה יחיד כזה; אם הם נחתכים יכולים להיות שניים.

אינוורסיה או היפוך היא פעולה גאומטרית שמחליפה בין הפנים והחוץ של מעגל.

יש מעגל עם מרכז O ורדיוס r. כל נקודה P מועתקת לנקודה P' שעל אותו קו כך שמכפלת המרחקים שלהן מהמרכז שווה לריבוע הרדיוס. נקודות על שפת המעגל נשארות במקום שלהן. לנקודה O יש "זוג" שנקרא נקודה באינסוף.

האינוורסיה משנה מעגלים לישרים או למעגלים אחרים. מעגל שעובר דרך המרכז הופך לקו. קו שעובר דרך המרכז נשאר קו. היא שומרת על הזוויות בין קווים ומעגלים, אבל משנה את הכיוון.

אפשר לבחור מעגל מתאים כדי להעביר כל מעגל למעגל אחר.