בסיס (טופולוגיה)

בסיס של מרחב טופולוגי (X, τ) הוא אוסף של קבוצות פתוחות. קבוצה פתוחה היא קבוצה שמוגדרת כחלק מהטופולוגיה.
כל קבוצה פתוחה בתור הτ ניתנת לכתיבה כאיחוד של איברים מהבסיס. במילים אחרות, τ שווה לכל האיחודים של קבוצות מהבסיס.
מנקודת המבט של נקודה x, לכל קבוצה פתוחה U שמכילה את x קיים איבר בבסיס B שכולל את x ו-B⊆U.

ניתן לתת הגדרה שקולה ובנויה לבדיקה מעשית: אוסף B הוא בסיס אם הוא מכסה את X, כלומר X=⋃_{B∈B}B, וכן לכל B1,B2∈B ולכל x∈B1∩B2 קיים B3∈B עם x∈B3⊆B1∩B2.
הגדרה שקולה זו נוחה להראות שאוסף נתון הוא בסיס. לדוגמה, הקטעים הפתוחים עם נקודות קצה רציונליות הם בסיס לטופולוגיה הסטנדרטית על הישר הממשי.
בסיס נקרא גם "מערכת סביבות יסודית".

תת-בסיס S הוא אוסף קבוצות פתוחות כך שהחיתוכים הסופיים של איברי S יוצרים בסיס. כלומר, אם לוקחים חיתוכים סופיים של קבוצות מ-S ואז עושים איחודים, מקבלים את כל הקבוצות הפתוחות של הטופולוגיה.
כל אוסף שמכסה את המרחב הוא תת-בסיס לטופולוגיה מסוימת.

בסיס מקומי סביב נקודה x הוא אוסף קבוצות פתוחות שכל אחת מהן מכילה את x, והוא כזה שלכל קבוצה פתוחה U שמכילה את x יש קבוצה מהאוסף שמכילה את x ונמצאת בתוך U.

דוגמה חשובה: על הישר הממשי, הקטעים הפתוחים עם קצות רציונליים מהווים תת-בסיס שממנו ניתן לבנות את הטופולוגיה הסטנדרטית באמצעות חיתוכים ואיחודים.

בסיס הוא קבוצה של אזורים פתוחים. אזור פתוח הוא חלק במרחב.
כל אזור פתוח גדול אפשר לבנות מאיחוד של אזורים בבסיס. כלומר, איחוד של כמה אזורים מהבסיס נותן כל אזור פתוח.
אם יש נקודה x בתוך אזור פתוח U, יש תמיד אזור בבסיס שמכיל את x והוא בתוך U.
כדי לבדוק שאוסף הוא בסיס, בודקים שהוא מכסה את כל המרחב.
וגם: אם שתי קבוצות בבסיס חותכות ויש נקודה משותפת, חייבת להיות בקבוצה בבסיס שעוטפת את הנקודה ונמצאת בתוך החיתוך.
דוגמה: קטעים פתוחים עם קצות רציניים (רציונליים) הם בסיס על הישר.

תת-בסיס הוא אוסף קבוצות פתוחות. אם נשתמש בחיתוכים סופיים של קבוצות מהתת-בסיס, נקבל בסיס.
לאחר מכן עושים איחודים של אותם חיתוכים כדי לקבל את כל הקבוצות הפתוחות.

בסיס מקומי סביב נקודה x הוא אוסף אזורים פתוחים שכוללים את x.
לכל אזור פתוח שמכיל את x, יש באזור מהמכלול מקומי כזה שגם הוא מכיל את x ופנימי לאזור הגדול.