גאומטריה פרויקטיבית

גאומטריה פרויקטיבית חוקרת תכונות שנשארות קבועות תחת העתקות פרויקטיביות. העתקה כזו מתקבלת מהרכבה של העתקות ליניאריות והטלות פרספקטיביות. במרחב הפרויקטיבי מוסיפים "נקודות באינסוף", נקודות שמייצגות כיוונים, כך ששני קווים מקבילים באוקלידס נחתכים בנקודה כזו.

הרעיונות הגיעו מהצורך לצייר פרספקטיבה מדויקת בתקופת הרנסאנס. אמנים כמו ברונלסקי, אלברטי ומאזאצ'ו פיתחו שיטות פרספקטיבה שטיפחו את המושגים של נקודות נעלמות וקווים מתכנסים. בהיסטוריה המתמטית תרמו דזרג ופסקל להתפתחות התאורטית. הגאומטריה הפרויקטיבית הוחיה והורחבה במאה ה-19 על ידי פונסלה וממשיכיו, ומשם היא קושרה לאלגברה ולמתמטיקה האקסיומטית במאות ה-19 וה-20.

מישור פרויקטיבי הוא מערכת של "נקודות" ו"ישרים" עם יחס חילה (מי על מי). המישור מקיים חמש אקסיומות עיקריות:
1. יש לפחות ישר אחד.
2. דרך כל שתי נקודות שונות עובר ישר יחיד.
3. כל שני ישרים נחתכים לפחות בנקודה אחת.
4. על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות שונות.
5. אין ישר שעליו כל הנקודות.
מתוך אקסיומות אלה נבנים טענות נוספות על המבנה הפרויקטיבי.

בדואליות מחליפים בין נקודות וישרים ומשמרים את יחס החילה. כלומר, משפט שנכון לגבי נקודות ויזמים נכון גם אחרי החלפה למושגים דואליים. זו תכונה מרכזית שמקלה על הוכחות רבות.

מרחב פרויקטיבי דומה למרחב האוקלידי, אך מוסיפים נקודות אינסוף לכל כיוון. שתי ישרות עם אותו כיוון נפגשות בנקודת האינסוף של אותו כיוון. אפשר להרחיב את הרעיון למימדים גבוהים יותר.

העתקה פרויקטיבית היא הרכבה של הטלות פרספקטיביות. היא מעבירה ישרים לישרים ונקודות לנקודות, אך לא משמרת אורכים או זוויות. מן המוצג היסודי של הגאומטריה הפרויקטיבית עולה: בהינתן שתי קבוצות של n נקודות במצב כללי, קיימת העתקה פרויקטיבית יחידה המעבירה ביניהן. משמעות זו דומה לטענה במרחב הווקטורי.

משפט דזרג: משולשים שנמצאים בפרספקטיבה ביחס לנקודה יהיו גם בפרספקטיבה ביחס לישר (תקף בממד ≥3, לא תמיד במישור).
משפט פאפוס: הוא נוסח על חיתוכים של נקודות על שני ישרים חותכים, וגורר תכונה של ישרות חיתוך. משפט פאפוס קשור לעושר המבנה האלגברי של השדה שדרכו בנוי המישור.

יחס כפול (cross ratio) הוא ערך שמוגדר עבור רביעיית נקודות על ישר. תחת העתקות פרויקטיביות הערך הזה נשמר. זו כמות שאינה משתנה גם אם אורכים וזוויות משתנים, ולכן היא כלי חשוב לזיהוי שימורים של העתקות.

חתכי חרוט (קטגוריות מעגל, פרבולה והיפרבולה) מסווגים במרחב האוקלידי למספר סוגים. במישור הפרויקטיבי הסיווג מצטמצם לחמש מחלקות שקיימות תחת העתקות פרויקטיביות: קבוצה ריקה, נקודה, ישר, זוג ישרים, וקטגוריה הכוללת אליפסה/מעגל, היפרבולה ופרבולה.

גאומטריה פרויקטיבית בוחנת צורות שנשארות דומות כשממשיכים אותן מזוויות שונות. היא מוסיפה "נקודות באינסוף". אלה נקודות שמייצגות כיוונים מאוד רחוקים. בזכותן קווים מקבילים יכולים "להיפגש".

האמנים של הרנסאנס לימדו אותנו לצייר עומק. הם השתמשו ברעיונות של נקודות נעלמות וקווים שמתכנסים. מתמטיקאים כמו דזרג ופונסלה פיתחו את הרעיונות האלה לתחום מתמטי.

מישור פרויקטיבי הוא אוסף של נקודות וישרים עם חוקים פשוטים:
1. יש לפחות ישר אחד.
2. לכל שתי נקודות יש ישר אחד שעובר ביניהן.
3. כל שני ישרים נפגשים בנקודה לפחות.
4. על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות.
5. אין ישר שבו כל הנקודות נמצאות.

בדואליות מחליפים נקודות בישרים והישרים בנקודות. אם משפט נכון, אז גם ההפך שלו נכון.

מרחב פרויקטיבי הוא כמו המרחב הרגיל, אבל עם נקודות אינסוף לכל כיוון. זה עוזר להסביר פרספקטיבה של ציור.

העתקה פרויקטיבית משנה נקודות וישרים, אבל שומרת על מבנה החיתוכים. יש משפט שאומר: אפשר למצוא העתקה יחידה שמעבירה קבוצת נקודות אחת לאחרת, אם הן בסידור נכון.

היחס הכפול הוא מספר שמחשבים מארבע נקודות על ישר. הערך הזה נשאר קבוע תחת העתקות פרויקטיביות. לכן הוא שימושי לזיהוי שימור של צורות.

חתכי חרוט הם צורות כמו מעגל, פרבולה והיפרבולה. במישור הפרויקטיבי סוגי הצורות הללו משתלבים יחד למחלקות שמישמרות תחת העתקות פרויקטיביות.