גבול של פונקציה

״גבול של פונקציה״ הוא רעיון מרכזי בחשבון אינפיניטסימלי. הוא אומר לאיזה ערך f(x) שואפת כאשר x מתקרב לנקודה מסוימת, או כאשר x גדל או קטן עד ללא סוף.

כאשר עובדים עם פונקציה שמקבלת ערכים ממשיים, שואלים לאן שואפים ערכי הפונקציה כאשר x מתקרב לנקודה x0. באופן אינטואיטיבי, L הוא הגבול ב־x0 אם כאשר x מתקרב ל־x0 אז f(x) מתקרב ל־L. הפונקציה לא חייבת להיות מוגדרת ב־x0 כדי שיהיה לה גבול שם, ולעיתים ערך הפונקציה בנקודה שונה מהגבול.

דוגמה פשוטה: f(x)=0 לכל x שונה מ־0, ו־f(0)=1. הגבול ב־0 הוא 0, למרות שערך הפונקציה ב־0 שווה ל־1.

קיימים גם גבול מימין וגבול משמאל. אלה בודקים את התנהגות f(x) כשהתקרבות ל־x0 נעשית רק מצד המספרים הגדולים (מימין) או רק מצד המספרים הקטנים (משמאל). לדוגמה, בפונקציה שמקבלת ערך 1 ב־0, שווה ל־x כאשר x>0 ושווה ל־2 כאשר x<0, הגבול מימין ב־0 שווה ל־0 והגבול משמאל שווה ל־2. במקרה כזה אין גבול חד־ערכי ב־0 כי שני הגבולות הצדדיים שונים.

גבולות משמשים להגדרת מושגים חשובים אחרים. רציפות (כלומר: אין קפיצות בערכים) וגזירות (יכולת לגזור, כלומר לשים קו משיק) מוגדרות בעזרת גבולות.

יש שתי הגדרות שקולות ומתמטיות של גבול. הראשונה היא הגדרה של ויירשטראס, שמנסחת את הרעיון באמצעות האותיות אפסילון ודלתא. אפסילון מייצג מרחק קטן שרוצים לקבל עבור הערכים של f, ודלתא מייצג מרחק סביב x0. השנייה היא הגדרת היינה, שמתארת התכנסות של סדרות: בודקים כל סדרה של נקודות שמקשה אחת מתקרבת ל־x0 ומה קורה לערכי הפונקציה על אותן נקודות. שתי ההגדרות שקולות: אם פונקציה מתכנסת לפי אחת מהן, היא מתכנסת גם לפי השנייה.

בהגדרה הרשמית של ויירשטראס אומרים: עבור כל מרחק קטן אפסילון נמצא סביבה מסביב ל־x0 (גודל דלתא) כך שלכל x קרוב מספיק ל־x0 הערך f(x) קרוב ל־L בהפרש פחות מאפסילון. בהגדרת היינה בודקים שכל סדרה של x_n שקרבה ל־x0 תגרור את f(x_n) להתקרב ל־L.

תנאי קושי (Cauchy) הוא אפיון אחר שמשתמש במרחקים בין ערכים של הפונקציה עצמם. אם עבור כל סף קטן אפשר למצוא סביבה של x0 כך שלכל שתי נקודות קרובות בתחום הבדלים בערכי הפונקציה קטנים, אז קיים גבול סופי. ההבחנה כאן היא שהתנאי אינו מזכיר את ערך הגבול L, ולכן שימושי כשרוצים להוכיח קיום גבול בלי לדעת את ערכו.

לעתים אומרים שפונקציה שואפת לאינסוף ב־x0. זה אומר שעל נקודות מספיק קרובות ל־x0 הערך של f(x) גדול כרצוננו. גם כאן יש ניסוח באמצעות סדרות: אם כל סדרה שמקשה ל־x0 גורמת לכך ש־f(x_n) גדל עד אינסוף, אז הפונקציה שואפת לאינסוף ב־x0. יש גם הגדרה מקבילה לשאיפה למינוס אינסוף.

את הגבולות הצדדיים מנסחים בדיוק כמו הגדרת ויירשטראס, אבל מגבילים את x כך שיתקרב ל־x0 רק מצד אחד. מספיקה זהות של שני הגבולות הצדדיים כדי שיהיה גבול רגיל בנקודה.

ניתן להגדיר גם גבול כאשר x גדל בלי סוף. גבול סופי כש־x שואף לאינסוף אומר ש־f(x) מתקרב לערך L כאשר x גדול מספיק. קיימת נוסחה אפסילון־דלתא מתאימה ונוסח סדרות שקול. בדומה לכך מגדירים שאיפה לאינסוף כאשר x שואף לאינסוף, וגם את המקרים של x שואף למינוס אינסוף.

״גבול של פונקציה״ הוא הרעיון לאן הערכים של פונקציה שואפים כשהx מתקרב לנקודה.

אם פונקציה קרובה לערך מסוים כשהx מתקרב לנקודה, אומרים שהגבול שם הוא אותו ערך. הפונקציה לא חייבת להיות מוגדרת בדיוק באותה נקודה.

דוגמה קלה: הפונקציה שווה ל־0 בכל מקום חוץ מ־0. בערך 0 היא שווה ל־1. למרות זאת, הגבול ב־0 הוא 0.

יש גם גבול מימין וגבול משמאל. זה אומר בודקים מה קורה כשיורדים ל־הנקודה מצד אחד בלבד. לפעמים הגבול מימין שונה מן הגבול משמאל. אז אין גבול אחד ברור.

יש שתי דרכים להגיד מתי הגבול קיים. הדרך הפשוטה יותר לילדים היא לחשוב על סדרת מספרים שמתקרבת לנקודה. אם בכל סדרה כזו הערכים של הפונקציה גם מתקרבים לאותו מספר, אז זהו הגבול.

אפשר לדבר גם על גבול אינסופי. זה אומר שערכי הפונקציה הולכים וגדלים בלי סוף כשמתקרבים לנקודה. יש גם גבול כשהx עצמו הולך לאינסוף, כלומר כשמסתכלים על הפונקציה בערכים מאוד גדולים של x.