דמיון מטריצות

דמיון הוא יחס שקילות בין מטריצות ריבועיות בגודל זהה. שתי מטריצות נקראות דומות אם הן מייצגות את אותה העתקה ליניארית בבסיסים שונים. העתקה ליניארית היא פעולה שממפה וקטורים לוקטורים באופן שומר על חיבור וכפל בסקלר. בסיס הוא קבוצה של וקטורים שמאפשרת לתאר כל וקטור במרחב.

מטריצות ריבועיות A ו-B בגודל n×n הן דומות אם קיימת מטריצה הפיכה P כך ש-A = P^{-1}BP. מטריצה הפיכה היא כזו שיש לה מטריצה הופכית. יחס הדמיון הוא רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי, לכן הוא אכן יחס שקילות.

כל העתקה ליניארית במרחב וקטורי בעל ממד סופי מיוצגת על ידי מטריצה ריבועית. הייצוג תלוי בבחירת הבסיס. כאשר מייצגים את אותה העתקה בשני בסיסים, מקבלים מטריצות דומות. לכן חשוב למיין מטריצות לפי מחלקות דמיון כדי להבין מתי הן מייצגות את אותו האובייקט.

למטריצות דומות יש את אותו פולינום אופייני (פולינום ששורשיו הם הערכים העצמיים), אותו פולינום מינימלי, אותה דרגה, דטרמיננטה ועקבה. בדרך כלל אלה לא מספיקים כדי להבטיח דמיון. עבור מטריצות 2×2 ו-3×3, זה בדרך כלל מספק, אבל בממדים גדולים יותר לא תמיד.
מטריצות הן דומות בדיוק אם יש להן אותה צורה רציונלית. אם הפולינום האופייני מתפרק לגורמים ליניאריים, למשל מעל שדה סגור אלגברית, כלומר שדה שבו כל פולינום מתפרק, אז דמיון שקול לזה שיש את אותה צורת ז'ורדן.

מטריצה שניתן להפוך אותה לאלכסונית נקראת לכסינה (מטריצה לכסינה). תנאי הכרחי ומספיק לכך הוא שכל הערכים העצמיים נמצאים בשדה והריבוי הגאומטרי של כל ערך עצמאי שווה לריבויו האלגברי. בפרט, אם יש n ערכים עצמיים שונים, המטריצה לכסינה.
אחד המשפטים המרכזיים קובע שמעל שדה סגור אלגברית כל מטריצה דומה למטריצת ז'ורדן יחידה, עד לסדר הבלוקים.

השאלה אילו מטריצות דומות תלויה בשדה שבו הן מוגדרות. אם שתי מטריצות מוגדרות מעל שדה F ודומות מעל הרחבה של F, אז הן כבר דומות מעל F עצמו. ההוכחה משתמשת בצורות רציונליות של מטריצות.

דמיון הוא יחס בין מטריצות ריבועיות בגודל אותו דבר. מטריצה (טבלה של מספרים) נקראת דומה לאחרת אם הן מייצגות את אותה פעולה על וקטורים. וקטור (רשימת מספרים) הוא מה שמקבלים כשמחליפים מקום או גודל.

אומרים שמטריצות דומות אם יש דרך להמיר אחת לשנייה בעזרת מטריצה הפיכה. מטריצה הפיכה היא כזו שאפשר "לבטל" אותה בעזרת פעולה מיוחדת.

כל פעולה שממירה וקטורים לוקטורים אפשר לייצג בטבלה. הייצוג משתנה אם בוחרים בסיס שונה. לכן שתי טבלאות שונות יכולות להראות אותו דבר מבחינה מהותית.

מטריצות דומות חולקות תכונות חשובות. יש להן את אותם ערכים עצמיים (המספרים שמאפיינים את הפעולה), את אותו פולינום אופייני, את אותה דרגה, דטרמיננטה ועקבה. תכונות אלו עוזרות להבין אם שתי מטריצות שייכות לאותה קבוצה.

מטריצה נקראת לכסינה אם אפשר להפוך אותה לטבלה שבה כל המספרים נמצאים רק על האלכסון. זה קורה כשהערכים העצמיים מתאימים למטרה זו. אם יש בלוקים מיוחדים, קוראים לזה צורת ז'ורדן.

התשובה אם שתי מטריצות דומות תלויה גם בשדה שבו כותבים את המספרים. אם הן דומות בשדה גדול יותר, בפועל הן דומות כבר בשדה הקטן. ההוכחה מתבססת על צורות רציונליות של מטריצות.