מטריצה נילפוטנטית

במתמטיקה, מטריצה נילפוטנטית היא מטריצה ריבועית M כך שמתקיים M^q = 0 עבור מספר שלם q חיובי. כלומר, אם מרבים את המטריצה בעצמה מספיק פעמים, מקבלים את מטריצת האפס.

באופן דומה, העתקה נילפוטנטית היא העתקה ליניארית L שכמה חזרות שלה מניבות את ההעתקה האפסית. (העתקה ליניארית היא פונקציה ששומרת חיבור וכפל בסקאלר.)

דוגמה מוכרת היא מטריצה 4×4 שיש בה אחדים רק מעל האלכסון הראשי (האלכסון שמאלה־למטה): זו מטריצה שמזיזה את הרכיבים של וקטור מימין לשמאל, ומשאירה אפס בסוף. פעולה זו ארבע־פעמים נותנת את וקטור האפס. כך N^2 ו־N^3 מתקרבות למטריצת אפסים, ולבסוף N^4=0.

מטריצה נילפוטנטית מאופיינת בכך שהפולינום האופייני שלה הוא λ^n. (פולינום אופייני הוא נוסחה שמתקבלת מהמטריצה ומקשרת בין ערכיה והערכים העצמיים.) מכאן שכל הערכים העצמיים שלה הם אפס.

יהי M מטריצה נילפוטנטית מסדר n. היא דומה לבלוק דיאגונלי של מטריצות קטנות הנקראות בלוקי ז'ורדן נילפוטנטיים.

יש משפט שאומר שכל מטריצה נילפוטנטית דומה למטריצה בלוקית אלכסונית שבה כל בלוק הוא מטריצה עם אחדים מעל האלכסון הראשי ואפסים בכל השאר. כל בלוק כזה מייצג שרשרת שבה החזקה של המטריצה מזיזה את הערכים עד שכולם נעלמים.

העתקה נילפוטנטית L על ℝ^n יוצרת שרשרת תתי־מרחבים: {0} ⊂ ker L ⊂ ker L^2 ⊂ … ⊂ ker L^q = U. (הגרעין ker L הוא קבוצת הווקטורים שנשלחים לאפס על־ידי L.)

ניתן להגדיר סיגнатורה של העתקה נילפוטנטית בעזרת ממדי הגרעינים. הממדים האלה מקיימים אי־שוויונות מסוימים שמגבילים איך הממדים עולים מחזקה לחזקה.

מטריצה היא טבלה של מספרים בשורות ולעמודות. מטריצה נילפוטנטית היא כזאת שאם מכפילים אותה בעצמה מספיק פעמים, מקבלים את טבלת האפסים.

גם העתקה ליניארית (פונקציה ששומרת חיבור וכפל) יכולה להיות נילפוטנטית. פירוש הדבר: אם מפעילים אותה כמה פעמים, כל דבר יהפוך לאפס.

יש מטריצה 4×4 שמזיזה כל מספר בעמודה אחת ימינה. אחרי ארבע הפעלות, כל המספרים נעלמים. לכן החזקה הרביעית של המטריצה היא מטריצת אפסים.

למטריצה נילפוטנטית יש תכונה מיוחדת בשם "פולינום אופייני" (נוסחה שמקשרת בין המטריצה לערכים שלה). אצל נילפוטנטיות הפולינום הזה הוא λ^n. זה אומר שכל הערכים החשובים שלה, שנקראים ערכים עצמיים (מספרים שמראים איך וקטור "נמתח"), הם אפס.

כל מטריצה נילפוטנטית ניתנת לכתיבה כסכום של בלוקים. כל בלוק נראה כמו מטריצה עם אחדים רק מעל האלכסון הראשי.

הגרעין (kernel, קבוצת הווקטורים שנשלחים לאפס) של ההעתקה גדל כשמגבירים את החזקה שלה: {0} ⊂ ker L ⊂ ker L^2 ⊂ … ⊂ ker L^q. הממדים של מערכים אלה עוקבים אחרי כללים מסוימים.