החבורה הליניארית הכללית

החבורה הליניארית הכללית של ממד n מעל שדה F היא קבוצת כל המטריצות ההפיכות בגודל n×n עם איברים מהשדה F.
מכפלת מטריצות היא פעולת החבורה, והמטריצה הנייטרלית היא מטריצת היחידה. "הפיכה" פירושה שלמטריצה יש מטריצה הופכית שמכפלתה בה נותנת את מטריצת היחידה.
תת-חבורה של מטריצות נקראת חבורה ליניארית או חבורת מטריצות. אם משכנים חבורה בכלל החבורה הליניארית מקבלים הצגה ליניארית, כלומר דרך להראות את איברי החבורה כמטריצות.
אפשר להגדיר את החבורה גם בתור כל ההעתקות הליניאריות ההפיכות של מרחב וקטורי V מממד n. "העתקה ליניארית" היא פונקציה שמכבדת חיבור וכפל בסקלר. כי כל המרחבים הווקטוריים בעלי אותו ממד סופי דומים זה לזה, שם החבורה אינו תלוי בבחירת המרחב.
מבנים אלגבריים של מטריצות מאפשרים להגדיר תתי-חבורות טבעיות. למשל, החבורה הליניארית המיוחדת SL_n(F) כוללת את המטריצות בעלות דטרמיננטה 1. הדטרמיננטה היא מספר שמקצה המטריצה, והוא קשור להפיכות.
SL_n(F) היא תת-חבורת הקומוטטורים של GL_n(F). משמעות הדבר היא שהיא נוצרת על ידי קומוטטורים, איברים שמודדים כמה סדר הפעולות משנה. בדרך כלל SL_n היא חבורה מושלמת, למעט המקרים הפיצ'ים n=2 כשF קטן במיוחד (גודל 2 או 3).
כאשר n לא שווה ל-1, GL_n(F) אינה אבלית; כלומר, סדר הכפל משנה את התוצאה. אם n=1, החבורה שווה לקבוצת המספרים ההפיכים ב-F, כלומר קבוצת הכפל של השדה.
כאשר F הם המספרים הממשיים או המרוכבים, GL(n,F) היא חבורת לי בגודל ממדי n^2. אם F שדה סגור אלגברית, אז GL(n,F) היא חבורה אלגברית, כלומר קבוצה שמתוארת על ידי משוואות פולינומיות.

GL_n(F) היא קבוצת כל המטריצות ההפיכות בגודל n על n. מטריצה היא טבלה של מספרים. "הפיכה" אומרת שיש לה מטריצה הופכית.
הפעולה היא כפל מטריצות. יש גם מטריצת יחידה שמשמשת כאיבר ניטרלי.
אפשר לראות את GL_n(F) גם בתור כל ההעתקות הליניאריות ההפיכות של מרחב וקטורי בממד n. מרחב וקטורי הוא מקום שבו עובדים עם וקטורים.
תת-חבורה חשובה נקראת SL_n(F). זו כל המטריצות עם דטרמיננטה 1. דטרמיננטה היא מספר שמוציאים מהמטריצה.
לרוב GL_n לא קומוטטיבית. פירושו שכאשר מחליפים סדר במכפלות, מקבלים תוצאה שונה. אם n=1, אז GL הוא פשוט קבוצת המספרים ההפיכים בשדה F.
אם F הם המספרים הממשיים או המרוכבים, אז GL(n,F) היא חבורה חלקה שאפשר להסתובב בה. אם F שדה סגור אלגברית, אז זו גם חבורה שמוגדרת על ידי משוואות פולינומיות.