דטרמיננטה
דטרמיננטה היא מספר שמקבלים ממטריצה. מטריצה היא טבלה של מספרים. הדטרמיננטה אומרת אם אפשר להפוך את המטריצה. "להפוך" פירושו למצוא טבלה שמבטלת את הפעולה שלה. אם הדטרמיננטה שווה 0, לא ניתן להפוך אותה. למטריצה קטנה של שני שורות ושתי עמודות יש תוצאה פשוטה. אם המטריצה היא [a b; c d] אז הדטרמיננטה היא a·...
החבורה הליניארית הכללית
GL_n(F) היא קבוצת כל המטריצות ההפיכות בגודל n על n. מטריצה היא טבלה של מספרים. "הפיכה" אומרת שיש לה מטריצה הופכית. הפעולה היא כפל מטריצות. יש גם מטריצת יחידה שמשמשת כאיבר ניטרלי. אפשר לראות את GL_n(F) גם בתור כל ההעתקות הליניאריות ההפיכות של מרחב וקטורי בממד n. מרחב וקטורי הוא מקום שבו עובדים עם וקט...
נוסחאות ויאטה
נוסחאות ויאטה מחברות בין המקדמים של פולינום לבין השורשים שלו. שורש הוא מספר שהופך את הפולינום לאפס. לדוגמה, למשוואה ריבועית ax^2+bx+c יש שני שורשים x1 ו-x2. מתקיים x1+x2=-b/a. וגם x1*x2=c/a. זה אומר שהסכום והמכפלה של השורשים קשורים ישירות למספרים a, b, c. גם למטריצות יש "שורשים" שנקראים ערכים עצמי...
מטריצה מצורפת
מטריצה מצורפת קוראים לה adj(A). זוהי מטריצה בונים מכלל המטריצה A. איך בונים כל איבר? לוקחים את המטריצה שנשארת אחרי שמוחקים שורה ועמודה. זו נקראת מינור. מחשבים עליה דטרמיננטה (מספר שמתאים למטריצה הקטנה). נותנים לה סימן + או - לפי האם סכום השורה והעמודה זוגי או אי זוגי. למטריצה 2×2 פשוטה A = (1 2 ...
מטריצת היחידה
מטריצת היחידה (I_n) היא "טבלה" של מספרים בגודל n×n. בקו האלכסון הראשי יש 1. בכל מקום אחר יש 0. כשמכפילים כל מטריצה ב-I, המטריצה נשארת זהה. זה כמו להכפיל מספר ב-1. דוגמאות קטנות: I_1 = [1]. I_2 = [[1,0],[0,1]]. I_3 דומה, רק גדול יותר. אפשר לכתוב אותה כ־diag(1,1,…,1). גם כותבים את הערכים שלה בעזרת ...
אלגברה ליניארית
אלגברה ליניארית אלגברה ליניארית עוסקת במשוואות פשוטות שבהן המשתנים עומדים בקו ישר ביחס למספרים. וקטור זה רשימה של מספרים. מקובל לכתוב וקטור כ-(x1,x2,...). העבודה החלה כבר לפני מאות שנים. דקארט נתן דרך לציין נקודות עם זוג מספרים. מאוחר יותר גאוס המציא שיטה לפתרון משוואות. שדה הוא סוג של "מספרים...
יעקוביאן
יעקוביאן הוא מספר שמקשרים למטריצה של נגזרות. מטריצה זו קוראים לה מטריצת יעקובי. מטריצה היא טבלה של מספרים. נגזרת היא קצב השינוי של פונקציה. המטריצה של יעקובי מכילה בכל שורה את כל הנגזרות של אחד מהרכיבים של הפונקציה. אם המטריצה ריבועית (אותו מספר שורות ועמודות), אפשר לחשב ממנה מספר מיוחד שנקרא דטרמי...
ורונסקיאן
וורונסקיאן היא פונקציה שעוזרת לראות אם כמה פונקציות קשורות זו לזו. השם מגיע מהמתמטיקאי יוזף הנה-ורונסקי. כדי למצוא את הוורונסקיאן בונים טבלה. בשורה הראשונה שמים את הפונקציות. בשורה השנייה שמים את הנגזרות שלהן. הנגזרת אומרת כמה הפונקציה משתנה. ממשיכים ככה עד שורה אחרונה של נגזרות מדרגה n-1. מחשבים מ...
מינור (אלגברה ליניארית)
מטריצה היא טבלה של מספרים. מינור הוא הטבלה הקטנה שמתקבלת אחרי שמוחקים שורה אחת ועמודה אחת. דטרמיננטה הוא מספר שמקבלים מהמטריצה. לדוגמה, אם A = [[1,4,7],[3,0,5],[-1,9,11]], המינור A_{13} הוא [[3,0],[-1,9]]. המספר (הדטרמיננטה) של הטבלה הקטנה הזאת הוא 27. כאשר מוחקים שורה ועמודה עם אותו מספר, זה נקרא...
בסיס (אלגברה)
בסיס הוא קבוצה של וקטורים שמאפשרת לבטא כל וקטור במרחב בדרך אחת בלבד. וקטור הוא כמו חץ עם כיוון ואורך. צירוף ליניארי זה חיבור של וקטורים אחרי שמכפילים אותם במספרים. הממד הוא מספר הווקטורים בבסיס. אם יש מספר סופי של וקטורים שמפרישים את המרחב, אז הממד סופי. למרחב תמיד קיים בסיס, אבל ההוכחה לכך משתמשת...
פולינום אופייני
פולינום אופייני עוזר ללמוד מטריצה. מטריצה היא טבלה של מספרים. יש דרך לחבר מספר מהטבלה שמקראים לו דטרמיננטה. יש גם מטריצת זהות, מטריצה מיוחדת עם 1 על הקו מהפינה לפינה. כדי לקבל את הפולינום האופייני עושים חישוב שמשתמש בדטרמיננטה ובמטריצה. השורשים של הפולינום הם הערכים העצמיים. ערכים עצמיים הם מספרים ...
משפט קיילי-המילטון
יש משפט במתמטיקה שאומר: כל מטריצה ריבועית A "מכבה" את הפולינום האופייני שלה. פולינום אופייני הוא פולינום שמקבלים מהדטרמיננטה |λI−A|. כשמחליפים את λ במטריצה A מקבלים את מטריצת האפס. היסטוריה קצרה: קיילי גילה את הרעיון בממדים קטנים. המילטון עבד על מקרים נוספים. הוכחה מלאה נמצאה ב־1878. יש מטריצה מ...
מטריצת סיבוב
מטריצת סיבוב היא כלי מתמטי שמסובב חצים (וקטורים) בלי לשנות את האורך שלהם. כבר נהוג לקרוא לה C או R. אם יש חץ במערכת צירים a ומעבירים אותו למערכת b כותבים v^b = C_a^b v^a. כך מקבלים את אותו חץ לפי צירים חדשים. מטריצת סיבוב שומרת על אורך החץ ועל הזוויות בין החצים. ההיפוך שלה פשוט להיפך (הטרנספוזה). ...
מכפלה מעורבת
מכפלה מעורבת היא פעולה על שלושה וקטורים במרחב תלת־ממדי. וקטור הוא כיוון וגודל. רשום אותה כך: a·(b×c). כאן "·" זו מכפלה סקלרית. סקלר זה מספר. "×" זו מכפלה וקטורית. היא נותנת וקטור חדש שניצב לשני המקוריים. התוצאה היא מספר. הגודל של המספר הוא הנפח של צורה הנקראת מקבילון. מקבילון זה דומה לקופסה נטויה ש...
פרמננטה
פרמננטה היא מספר שמחשב ממטריצה. מטריצה היא טבלה של מספרים. בפרמננטה לוקחים כל סידור של העמודות. עבור כל סידור עושים מכפלה של איברים מתאימים, ואז מחברים את כל המכפלות. אם כל המספרים במטריצה הם חיוביים, גם הפרמננטה חיובית. הפרמננטה הומצאה לראשונה ב-1812 על ידי אוגוסטן לואי קושי. משתמשים בפרמננטה בספי...
מטריצת הסיאן
מטריצת ההסיאן היא טבלה שמכילה נגזרות שניות של פונקציה. נגזרת שניה היא איך השיפוע משתנה. מטריצה זו עוזרת למצוא אם נקודה היא מינימום, מקסימום או אוכף. אם יש פונקציה של כמה משתנים, בונים טבלה שבה כל תא הוא נגזרת שניה לפי שני משתנים. אם הנגזרות מסדר שני ממש חלקות, הטבלה סימטרית (השורה והעמודה מתחלפות)....