היפרבולה

היפץרבולה היא חתך חרוט (פרוסת חרוט) שמורכב משתי עקומות נפרדות, שנקראות זרועות.
בעגה הגאומטרית היא "מקום גאומטרי", קבוצה של נקודות שמקיימות כלל מסוים. במקרה של ההיפרבולה הכלל הוא: ההפרש בערכים המוחלטים של המרחקים מכל נקודה על העקומה לשתי נקודות קבועות (המוקדים, או focus) נשאר קבוע.
ניתן גם להגיד: היחס בין מרחק משער למוקד לבין מרחק מאותה נקודה לישר מסוים (מדריך, directrix) שווה לקבוע גדול מ־1. הקבוע הזה נקרא אקסצנטריות, והוא מודד כמה העקומה ״מתוחה״ או בלתי מעגלת.
מרכז ההיפרבולה הוא אמצע הקטע בין שני המוקדים. להיפרבולה יש שתי אסימפטוטות, קווים שהעקומה מתקרבת אליהם אך לא נוגעת בהם, והן נחתכות במרכז.
"היפרבולה שוות שוקיים" היא היפרבולה שציריה מאונכים זה לזה. "היפרבולה קנונית" היא היפרבולה שמרכזה בראשית צירי הקואורדינטות. אם מסובבים היפרבולה סביב אחד מציריה, מתקבל גוף תלת־ממדי שנקרא היפרבולואיד.


בעזרת משתנים x ו-y אפשר לכתוב משוואה אלגברית כללית שמתארת את ההיפרבולה. בתנאי מסוים על המקדמים (B^2>4AC) העקום אכן יהיה היפרבולה ולא צורה אחרת.
בשיטה שממקמים את המרכז ב-(h,k) משתמשים בשני סוגי משוואות מרכזיות, שבהן מופיעים פרמטרים a ו-b. אם המרכז הוא בראשית, המשוואה המקובלת נראית כמו x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1. שימו לב שמדובר בנוסחה הדומה בנראות לנוסחת האליפסה, אך במקום סימן פלוס יש שם מינוס.
האקסצנטריות נקבעת על ידי e = sqrt(1 + b^2/a^2). המוקדים של ההיפרבולה הקנונית נמצאים במרחק sqrt(a^2+b^2) מהמרכז על ציר ה-x, כלומר בנקודות (+-sqrt(a^2+b^2), 0). אפשר גם לבטא אותם כ-(ae,0) ו-(-ae,0) כאשר e היא האקסצנטריות.
ישנה גם צורה שבה צירי ההיפרבולה זהים לצירי הקואורדינטות, שנכתבת כשווה ערך מכפלה (x-h)(y-k)=c. משוואות האסימפטוטות הפשוטות להיפרבולה קנונית הן y = +(b/a) x ו-y = -(b/a) x.

ניתן לתאר היפרבולה גם בעזרת קואורדינטות קוטביות. יש מספר ביטויים שמשתמשים בפונקציות כמו sec ו-csc ובזווית הכפולה 2t. אלה דרכים אלטרנטיביות לכתוב את אותה עקומה.

יש גם תיאור פרמטרי שבו x ו-y מבוטאים כפונקציות של פרמטר θ. לדוגמה משתמשים בפונקציות ההיפרבוליות cosh ו-sinh, או בביטויי tan ו-sec, כדי לקבל נקודות על הענף הימני של ההיפרבולה.

בניתוח המתמטי של ההיפרבולה יש תכונות אנליטיות שונות. למשל חישוב השטח שמתחת לעקומה הפשוטה y^2 - x^2 = 1 מביא לביטוי שכולל לוגריתם. התוצאה הזאת מתקבלת גם על ידי סיבוב מערכת הצירים בזווית של 45 מעלות וגם בגלל ששטח זה כולל חלק רשתי בצורת משולש ישר־זווית שנשאר אחר הפעולה.

היפרבולה היא שתי עקומות פתוחות שנראות כמו שתי זרועות.
כל נקודה על אחת הזרועות נמצאת במרחקים מיוחדים משתי נקודות קבועות.
אותן שתי נקודות קבועות נקראות מוקדים. המוקדים הם כמו שני מרכזים חשובים.
הכלל שמגדיר היפרבולה אומר: ההפרש בין המרחקים לשני המוקדים הוא תמיד אותו מספר.

כדי לתאר היפרבולה במתמטיקה משתמשים בנוסחה עם משתנים שנקראים x ו-y.
אם שמים את מרכז ההיפרבולה במרכז הצירים, הנוסחה שלה דומה לנוסחה של אליפסה.
ההבדל העיקרי הוא שיש שם סימן מינוס במקום פלוס.

יש גם דרך לתאר היפרבולה בעזרת זווית ומרחק מהמרכז.
זו דרך אחרת למצוא את הנקודות על העקומה.

אפשר להגדיר את קואורדינטות הנקודות על ההיפרבולה בעזרת פרמטר שנקרא תθ.
משתמשים בפונקציות מיוחדות כדי לקבל את ה-x וה-y של כל נקודה.

לצורת ההיפרבולה יש שתי אסימפטוטות. אסימפטוטה היא קו שהעקומה מתקרבת אליו רחוק מהמרכז.
מרכז ההיפרבולה הוא אמצע הקטע בין המוקדים.
היפרבולה דומה לאליפסה, אך היא פתוחה ושונה בעיצוב.
האקסצנטריות היא מספר שמראה עד כמה ההיפרבולה ארוכה ופתוחה. היא תמיד יותר מ-1.
המוקדים של היפרבולה קנונית נמצאים בצדדים על ציר ה-x, במרחק שקבעים מהמרכז.

כמו בכל עקומה במתמטיקה, אפשר לחשב שטחים ולקבל תוצאות שמופיעות באמצעות פונקציות מיוחדות, כמו לוגריתם. כדי לקבל את התוצאה הזו מדי פעם מסובבים את מערכת הצירים בזווית של 45 מעלות.