הסדרה ההרמונית

הסדרה ההרמונית היא הרצף 1, 1/2, 1/3, 1/4, … . שמה נובע מקשר למוזיקה: אורכי הגל של צליל מיתר הם 1/2, 1/3, 1/4 של אורך הגל הבסיסי. כל איבר אחרי הראשון הוא הממוצע ההרמוני (ממוצע שמחשבים אחרת מהממוצע הרגיל) של השכנים, ולכן קוראים לה גם התקדמות הרמונית. בתקופת הבארוק אדריכלים השתמשו ביחסים האלה לקביעת פרופורציות בבניינים.

הטור ההרמוני הוא הסכום האינסופי 1 + 1/2 + 1/3 + … . למרות שהאיברים היחידים שואפים לאפס, הסכום הכולל מתבדר. החלקיות של הסכום עד n נקראות מספרים הרמוניים ונמסמנות H_n, כלומר H_n = 1 + 1/2 + … + 1/n. מספרים אלה הם רציונליים, ורק H_1 הוא שלם. גם ההפרש בין שני מספרים הרמוניים אף פעם אינו שלם. לאונרד אוילר הראה שההפרש H_n − ln(n) מתייצב לערך קבוע, שנקרא קבוע אוילר-מסקרוני.

זה מפתיע כי הטור מתבדר, כי האיבר הכללי שואף לאפס. הסכום עובר את 10 רק אחרי האיבר ה־12,367, ואת 11 אחרי האיבר ה־33,617. קיימות הוכחות רבות להתבדרות הזו.

באמצעות סכומי דארבו של אינטגרל רימן ניתן להראות ש־H_n חוסם מלמעלה את האינטגרל
∫_1^n (1/t) dt = ln(n). כלומר לכל n: H_n ≥ ln(n). מצד שני מתקיים 0 ≤ H_n − ln(n) ≤ 1, ולכן H_n גדל בקצב דומה ללוגריתם הטבעי (פונקציה שמגדילה את הערך לאט מאוד).

ניתן לקבץ את האיברים לפי טווחים שגודלם חזקה של 2: 1/2, (1/3+1/4), (1/5+…+1/8), … . בכל קבוצה כזו כל איבר לא קטן מהאיבר האחרון שלה, ולכן כל קבוצת ביניים גדולה מ־1/2. כך מקבלים סכום אינסופי של חצאים, ולכן הטור מתבדר. מהקיבוץ מקבלים גם גבול תחתון לצמיחה: H_n > 1 + floor(log_2 n)/2.

הטור ההרמוני המתחלף 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … מתכנס לערך ln(2). זה נובע מהצבת x=1 בפיתוח טור טיילור של ln(1+x). זה גם דוגמה למבחן לייבניץ להתכנסות טורים מתחלפים. טור ההופכיים של הראשוניים 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + … מתבדר אף הוא. אם נוותר על כל המספרים המכילים את הספרה 9, הטור דווקא מתכנס וסכומו הוא כ־22.92067. סדרה זו נחקרה לראשונה על ידי A. J. Kempner ב־1914.

הסדרה ההרמונית היא: 1, 1/2, 1/3, 1/4, … . השם קשור למוזיקה. במיתר, אורכי גל של צלילים הם 1/2, 1/3, 1/4 מהאורך הבסיסי.

אם נוסיף את כל המספרים האלה נקבל טור: 1 + 1/2 + 1/3 + … . טור זה לא מסתיים במספר סופי. זה נקרא מתבדר, כלומר הוא הולך וגדל בלי סוף. חלק מהסכומים החלקיים נקראים H_n. H_n הוא הסכום עד האיבר ה־n.

אפשר להראות שזה גדל לאט מאוד. למשל, כדי לעבור את 10 צריך כבר אלפי איברים. יש דרך פשוטה שמקבצת איברים לפי קבוצות בגודל כפול כל פעם. כל קבוצה מוסיפה לפחות חצי, אז יש אין־סוף חצאים.

יש טור שהוא 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … . הוא מתכנס לערך שנקרא ln(2). יש גם את הטור של ההופכיים של המספרים הראשוניים, שהוא מתבדר. אם מסירים מהטור ההרמוני את כל האיברים שמכילים את הספרה 9, מקבלים טור שמתכנס. סכומו כ־22.92067. את זה גילה Kempner ב־1914.