התמרת פורייה היא דרך מתמטית לפרק פונקציה לרכיבים מחזוריים, כמו סינוסים וקוסינוסים או אקספוננטים מרוכבים (אקספוננט מרוכב הוא צורה שנושאת גם משרעת וגם פאזה).
התמרה זו ממפה בין מרחב הזמן (איך האות משתנה בזמן) למרחב התדר (אילו תדירויות מרכיבות את האות). היא קרויה על שמו של ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה והיא כלי מרכזי באנליזה הרמונית.
התמרת פורייה משמשת בפיזיקה ובהנדסה כדי לנתח גלים, צלילים, אותות ותמונות. למשל, בקובצי שמע ניתן לפרק גל קול לתדרים ולהסיר תדרים מיותרים כדי לדחוס קבצים. בתחומים כמו תקשורת, עיבוד תמונה ומכניקת הקוונטים, היא בסיסית.
רעיון הבסיסי הוא לייצג כל פונקציה כסכום (או אינטגרל) של פונקציות הרמוניות בעלות תדירות יחידה. כל רכיב כזה מתאר גל פשוט בתדירות מסוימת. המקדמים בתוצאה נותנים את המשרעת (העוצמה) והפאזה (העומד בזווית) של כל תדר.
יש גם הנוסחה ההפוכה: היא בונה חזרה את הפונקציה המקורית מסך רכיבי התדר. כך אפשר לעבור ללשנות או לנתח אות במרחב התדר ולחזור בזמן.
התמרת פורייה היא ליניארית: סכום פונקציות בונה סכום של התמרותיהן. מבחינה אנליטית, יש לה זהות המחברת בין אנרגיות הזמן והתדר (שמירה על אנרגיה).
קונבולוציה: פעולה מתמטית של "עיבוד" בין שתי פונקציות מתרגמת בכדור התדר להכפלה של התמרותיהן, ולהיפך. תכונה זו הופכת חישובים מורכבים לפשוטים.
נגזרת: גזירה בזמן שקולה לכפל במרחב התדר ב-i·omega (כלומר, פעולת גזירה הופכת לכפל לפי תדירות), תכונה שמקלה על פתרון משוואות דיפרנציאליות.
כאשר האות הוא ברצף דגימות בדיד (למשל מדידה כל יחידת זמן), מתארים אותו בעזרת DTFT. דגימה בזמן יוצרת מחזוריות במישור התדר. אם מדגמים בקצב הנכון (מעל תדר נייקוויסט), אפשר לשחזר את האות ללא איבוד מידע.
מחשבים משתמשים ב־DFT כדי לעבוד על אות עם מספר סופי של מדגמים. DFT מחזירה סדרה סופית של תדרים. האלגוריתם FFT (אלגוריתם מהיר) מחשב DFT בהרבה פחות חישובים.
התמרת פורייה עובדת גם לפונקציות בתלת־ממד או יותר. זה שימושי במעבדי תמונות ותיאורים פיזיקליים של גבישים, שם עוברים בין סריג ישיר לסריג הופכי (מרחב הגל).
במתמטיקה התמרת פורייה עוזרת בפתרון משוואות דיפרנציאליות ובתורת המספרים (למשל נוסחת הסכימה של פואסון). בפיזיקה של מצב מוצק היא מקשרת בין מבנה הגביש במה שמכונה סריג ישיר לסריג הופכי.
התמרת פורייה מפרקת גל או אות לגלים פשוטים. גל פשוט הוא צליל טהור בתדירות אחת. כך רואים מה התדירויות שמרכיבות את האות.
התמרת פורייה מחברת בין זמן לתדר. זמן הוא איך האות משתנה בזמן. תדר אומר כמה פעמים הגל חוזר בשנייה.
במוסיקה אפשר למצוא את התווים (התדירויות). במחשבים ובטלפון משתמשים בזה כדי לעבד קול ותמונות. זה גם עוזר לדחוס קבצים.
כשהמחשב לוקח דגימות מהאות, הוא עובד עם גירסה בדידת שלה. לעתים התדרים חוזרים בספקטרום. כדי לחשב מהר משתמשים ב־FFT, אלגוריתם מהיר.
קונבולוציה היא דרך "לעבד" אות עם פילטר. בתדירויות זה הופך להכפלה, וזה קל יותר.
אפשר גם לחזור מאחור: מהתדירויות בונים את האות חזרה. התמרת פורייה עובדת גם על תמונות, לא רק על קולות.
תגובות גולשים