חבורה ציקלית

חבורה ציקלית היא חבורה שנוצרה על ידי איבר אחד. כלומר, כל איבר בה הוא חזקת אותו איבר. חבורה כזו תמיד אבלית (הפעולה ביניהן מתחלפת: a·b = b·a).

דוגמה פשוטה היא חבורת המספרים השלמים ביחס לחיבור (מסומנת Z). היא ציקלית אינסופית, כי כל מספר הוא חיבור של 1 מספר פעמים. חבורה סופית רגילה היא קבוצת השאריות 0..n-1 עם חיבור מודולו n (נסמן זאת Z_n); זו חבורה ציקלית מסדר n, ו־1 הוא יוצר שלה.

כאשר כותבים חבורה ציקלית שנוצרת על ידי g, כותבים ⟨g⟩. אם שתי חבורות ציקליות בעלות אותו סדר (מספר האיברים), הן איזומורפיות, כלומר יש ביניהן התאמה שמחברת את המבנים בלי לשנות את החיבור.

לרוב יש הרבה יוצרים בחבורה ציקלית. בחבורה אינסופית Z היוצר יכול להיות 1 או −1. בחבורה מסדר n יש φ(n) יוצרים, כאשר φ היא פונקציית אוילר (הפונקציה שמספרת כמה מספרים מ־1 עד n נמנעים מחלוקה משותפת עם n).
בנוסף, הסדר של החזקה g^k הוא n חלקי gcd(n,k), כאשר gcd הוא המחלק המשותף הגדול של n ו־k.

אוטומורפיזם הוא מעין סימטריה של החבורה שמותירה את המבנה זהה. כל אוטומורפיזם של חבורה ציקלית מסדר n שולח יוצר ליוצר אחר, ולכן יש בדיוק φ(n) אוטומורפיזמים. חבורת האוטומורפיזמים איזומורפית לקבוצת היחידות מודולו n, הנקראת U_n. גאוס הראה ש־U_n ציקלית רק במקרים מסוימים: n=2, n=4, n כוח של ראשוני אי־זוגי, או פעמיים כוח כזה.

מכפלה ישרה של שתי חבורות ציקליות Z_n × Z_m היא ציקלית רק אם n ו־m זרים (אין להם מחלקים משותפים חוץ מ־1). במקרה זה היא שווה ל־Z_{nm}. לפי פירוק ראשוני, כל חבורה ציקלית סופית אפשר לפרק כמכפלה של חבורות ציקליות שנספרות בחזקות של ראשוניים. לדוגמה, Z_{720} מתאימה ל־Z_{16} × Z_{9} × Z_{5}.

חבורה ציקלית היא קבוצה שמתקבלת מאיבר אחד בלבד. האיבר הזה נקרא יוצר. כל איבר בחבורה הוא חזרה על אותו יוצר.

דוגמה: כל המספרים השלמים עם חיבור יוצרים חבורה. הירידה או העלייה במספרים נעשית על ידי הוספת 1 שוב ושוב. חבורה עם n איברים היא הקבוצה 0 עד n−1 בחיבור שמחזיר רק את השארית.

בחבורה יש כמה יוצרים לפעמים. פונקציית אוילר, φ(n), סופרת כמה יוצרים יש בחבורה עם n איברים. אם שני מספרים לא חולקים מחלקים חוץ מ־1, קוראים להם יחסיים ראשוניים.

אוטומורפיזם זה שינוי פנימי שמשאיר את המבנה כמו שהוא. בחבורה ציקלית יש בדיוק φ(n) שינויים כאלה. הם מעבירים יוצרים ליוצרים.

אם מערבבים שתי חבורות ציקליות עם גדלים שונים, התוצאה ציקלית רק אם הגדלים יחסיים ראשוניים. אפשר לפרק חבורה גדולה לחבורות קטנות שגודלן הוא חזקה של מספר ראשוני. לדוגמה, 720 אפשר לפרק ל־16, 9 ו־5.