סדרת קושי

סדרת קושי היא סדרה שאבריה מתקרבים זה אל זה ככל שמתקדמים בה.

באופן מדויק: סדרה {a_n} נקראת סדרת קושי אם לכל ε>0 קיים N כזה שלכל n,m > N מתקיים |a_n - a_m| < ε. ההגדרה נכונה גם במרחב מטרי (מרחב שבו מודדים מרחק בעזרת פונקציית מרחק d). במקרה כזה מחליפים את |a_n - a_m| בתנאי d(x_n,x_m).

השם ניתן על שם המתמטיקאי אוגוסטין לואי קושי.


הערך של סדרות קושי בולט במיוחד במרחב מטרי שלם. מרחב שלם הוא מרחב שבו כל סדרת קושי מתכנסת לגבול. בזכות זה אפשר להוכיח שהתהליכים איטרטיביים מניבים גבול בלי לדעת אותו מראש. המספרים הממשיים הם דוגמה למרחב שלם.

להפך, יש מרחבים שאינם שלמים. קטע פתוח (0,1) עם המטריקה הרגילה אינו שלם. למשל הסדרה 1/n היא סדרת קושי, אך אין לה גבול בתוך (0,1), כי הגבול שלה הוא 0 שאינו שייך לקטע.


לא מספיק שההפרש בין איברים עוקבים יהפוך קטן. דוגמה: a_n = √n. ההפרש בין איברים עוקבים קטן משוואתית, שכן a_{n+1}-a_n = 1/(√{n+1}+√n), אך הערכים a_n גדלים ללא גבול. לכן הם לא מתקרבים זה אל זה, והסדרה אינה סדרת קושי.

סדרת קושי היא רשימה של מספרים.

אומרים שסדרה היא קושי אם כשהולכים לאיברים שאחרי, הם מתקרבים זה לזה. איבר הוא מספר במיקום בסדרה.


מרחב מטרי הוא מקום שבו מודדים מרחק בין נקודות. אם המרחב שלם, כל סדרת קושי מתקרבת למספר קרוב. המספרים הממשיים הם דוגמה למרחב כזה.

יש מקומות שאינם שלמים. למשל בקטע (0,1) הסדרה 1/n מתקרבת ל-0. אבל 0 לא נמצא ב-(0,1), לכן היא לא מתכנסת שם.


לא מספיק שההפרש בין עוקבים יהיה קטן. דוגמה: a_n = שורש של n. ההפרש בין עוקבים קטן, אך המספרים גדלים ואין להם גבול. לכן זו לא סדרת קושי.