חבורה שלמה

חבורה שלמה היא חבורה שמקיימת שני תנאים: המרכז שלה טריוויאלי - כלומר רק האיבר הניטרלי נמצא במרכז (המרכז הם האיברים שמוחלפים בלי לשנות סדר הפעולה) - וכל אוטומורפיזם שלה הוא פנימי. אוטומורפיזם הוא חילוף של איברי החבורה ששומר על חוק החבורה. אוטומורפיזם פנימי הוא כזה שמתקבל על ידי פעולת הכפל עם איבר קבוע g, כלומר החלפה של צורה gxg^{-1} (פעולה זו מסובבת את כל האיברים על ידי g). אם G היא חבורה שלמה, יש התאמה טבעית בין איברי G ובין האוטומורפיזמים שלה: לכל g מושייך האוטומורפיזם הפנימי המתואר לעיל. דוגמה חשובה: החבורות הסימטריות S_n הן שלמות כמעט תמיד, למעט עבור n=2 ו-n=6. עוד עובדה מרכזית: אם S היא חבורה פשוטה לא-אבלית וסופית, אז קבוצת האוטומורפיזמים Aut(S) היא שלמה, ובפרט Aut(Aut(S)) שווה לה. לפי משפט של Dyer ו‑Formanek משנת 1974, גם חבורת האוטומורפיזמים של חבורה חופשית לא-אבלית מדרגה סופית היא שלמה. תכונה חשובה אחרת של חבורות שלמות נוגעת לתת‑חבורות נורמליות. אם K היא תת‑חבורה נורמלית של G, ו‑K שלמה, אז K עומדת כחלק ישר בחבורה G: קיים פירוק של G כמכפלה ישרה G ≅ K × H. ההיפך נכון גם כן: אם קבוצה K לא יכולה להופיע כתת‑חבורה נורמלית של חבורה אחרת בלי להיות מרכיב ישר שלה, אז K היא שלמה.

חבורה שלמה היא חבורה עם שני כללים פשוטים. המרכז - קבוצת האיברים שמתחלפים בלי לשנות סדר הפעולות - קטן מאוד. רק האיבר הניטרלי נמצא בו. אוטומורפיזם (החלפה ששומרת על חוקי החבורה) הוא תמיד פנימי. פנימי אומר שההחלפה נעשית על ידי "סיבוב" בתוך החבורה. דוגמה ידועה היא חבורות הסימטריה S_n. הן שלמות כמעט תמיד. ההכלל לא נכון רק ל-n=2 ול-n=6. גם אם יש חבורה פשוטה לא-אבלית וסופית, אז האוטומורפיזמים שלה עצמם שלמים. תכונה חשובה: אם K היא תת‑חבורה נורמלית (שמרה על עצמה בסיבובים) ו‑K שלמה, אז G מתפרקת לחלק K ועוד חלק אחר. כלומר אפשר להפריד את G ל‑K ולחבורה נוספת.