חבורת התמורות הזוגיות היא תת‑חבורה חשובה של החבורה הסימטרית S_n. לכל n>1 חצי מהתמורות ב‑S_n הן 'זוגיות', כלומר יש להן סימן +1, וחצי הן 'אי‑זוגיות' עם סימן −1. את סימן התמורה מחשבים על פי זוגיות מספר החילופים (טרנספוזיציות) שנדרשים כדי לכתוב אותה. חילוף (טרנספוזיציה) הוא החלפה של שני איברים בלבד. מאחר שזוגיות מספר החילופים אינה משתנה, אוסף כל התמורות עם זוגיות זוגית יוצר תת‑חבורה של S_n. את התת‑חבורה הזו מסמנים A_n, והיא בעלת סדר n!/2 ואינדקס 2 ב‑S_n.
הזוגיות נשמרת בהכפלה: מכפלת שתי תמורות זוגיות היא שוב זוגית, לכן A_n היא חבורה. לדוגמה, A_3 מכילה את כל המחזורים (הסיבובים) באורך 3, והם גם מייצרים את כל A_3. אם n4 ניתן לבנות חלק מהאלמנטים בעזרת תמורות מהצורה (ab)(cd) כאשר a,b,c,d שונים זה מזה.
אחת הסיבות שמשתמשים הרבה ב‑A_n היא העובדה שהן חבורות פשוטות לכל n5. חבורה פשוטה היא חבורה שלא ניתן לפרקה לתת‑חבורות נורמליות חדשות (כלומר אין 'חלקים' נסתרים שנשארים יציבים תחת ההשפעה החבורה). בפרט A_5, שיש לה סדר 60, היא החבורה הפשוטה הקטנה ביותר שאינה ציקלית. תכונה זו של A_n (פשטות ל‑n≥5) משחקת תפקיד מרכזי בהוכחה של משפטים בתורת גלואה, למשל בהראות שאין נוסחה כללית לפתרון פולינום ממעלה 5 ומעלה.
מכיוון ש‑A_n פשוטה, היא תת‑החבורה הנורמלית היחידה מאינדקס 2 ב‑S_n. תוצאה קשורה היא שאין ל‑S_n תת‑חבורות אחרות מאינדקס קטן כאשר n≥5; ההבחנה הזו לא נכונה ל‑S_4, שיש לה שלוש תת‑חבורות מאינדקס 3, שכל אחת מהן איזומורפית לחבורה הדיהדרלית מסדר 8.
A_4 אינה פשוטה. יש לה שרשרת הרכבה
{1} ≤ ⟨(12)(34)⟩ ≤ ⟨(12)(34),(14)(23)⟩ ≤ A_4.
קשר גאומטרי מראה את משמעות החבורות: חבורת התמורות של הטטראהדרון היא A_4. חבורת התמורות של הקובייה והאוקטהדרון היא S_4. המילטון הראה ב‑1856 שהחבורות של הדודקהדרון ושל האיקוסהדרון הן איזומורפיות ל‑A_5.
יש גם קישורים להצגות לפי יוצרים ויחסים: החבורה ⟨x,y | x^2 = y^3 = (xy)^6 = 1⟩ אינסופית, וגרף קיילי שלה מרצף את המישור באמצעות משולשים ותריסריונים משוכללים. במקרים מסוימים אפשר להצמיד לחבורה של תמורות זוגיות גם ייצוגים כמטריצות מעל שדות סופיים: A_4 ≅ PSL_2(F_3), A_5 ≅ PSL_2(F_5) ו‑A_6 ≅ PSL_2(F_9). לעומת זאת, A_8 ו‑PSL_3(F_4) הן חבורות פשוטות שונות אך בעלות אותו סדר.
חבורת התמורות הזוגיות היא קבוצה של כל הדרכים לסדר n דברים, שבהן אפשר לעשות את הסידור בעזרת מספר זוגי של החלפות. החלפה (טרנספוזיציה) היא החלפת שני פריטים בלבד. אם אפשר לכתוב את הסידור בעזרת 2, 4, 6,... החלפות, הוא נקרא זוגי.
החבורה הזו מסומנת A_n. יש לה חצי מהתמורות של S_n, כלומר חצי מכל הדרכים לסדר את הדברים. A_3, למשל, מורכבת מכל הדרכים להסתובב שלושה פריטים יחד (סיבובים של 3).
A_4 לא פשוטה, כלומר יש לה תתי־חבורות קטנות שחשובות. החבורה של הטטראהדרון (הגיאומטריה של הפוליגון בעל 4 הפאות) היא A_4. חבורת הסימטריות של הקובייה והאוקטהדרון היא S_4. החבורת הסיבובים של הדודקהדרון ושל האיקוסהדרון היא A_5. ל‑A_5 יש 60 איברים והיא מיוחדת כי אי אפשר לפרק אותה לחלקים נורמליים קטנים יותר.
תגובות גולשים