חוק בייס

חוק בייס (נוסחת בייס) הוא תוצאה בתורת ההסתברות. הוא מאפשר לחשב הסתברות מותנית (סיכוי של מאורע נתון שמאורע אחר קרה). הנוסחה נקשרה לשמו של המתמטיקאי האנגלי תומאס בייס, ומאמרו פורסם ב־1764 לאחר מותו.

ההסתברות המותנית של A בהינתן B היא הסיכוי ש־A יקרה כשנניח ש־B כבר קרה. זה מצמצם את מרחב המדגם (כל האפשרויות שנבדקות). הנוסחה הבסיסית היא:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).
חוק בייס מאפשר להפוך הסתברויות מותנות:
P(B|A) = P(A|B) · P(B) / P(A).
אם מחלקים את מרחב המדגם לחלקים B_i, אז הנוסחה הכללית היא:
P(B_k|A) = P(A|B_k)P(B_k) / Σ_i P(A|B_i)P(B_i). זו נגזרת של הנוסחה הקודמת יחד עם נוסחת ההסתברות השלמה.

במדינה יש שתי קופות חולים. 75% מהתושבים חברים בקופה הגדולה ו־25% בקופה הקטנה. לפי סקר, 90% מהחברים בקופה הקטנה מרוצים, ו־80% מהחברים בקופה הגדולה מרוצים.
נחשב את אחוז המרוצים הכולל: 0.9·0.25 + 0.8·0.75 = 0.825 (82.5%).
ההסתברות שאדם מרוצה שייך לקופה הקטנה היא לפי בייס: (0.9·0.25) / 0.825 ≈ 0.273 (כ־27.3%).
מכאן שהטענה של הפרסומת כוזבת: גם אם אדם מרוצה, ככל הנראה הוא חבר בקופה הגדולה, כי רוב התושבים שייכים אליה.

חוק בייס עוזר לחשב סיכוי כאשר יודעים עוד משהו מראש. ההסבר הפשוט: הסתברות מותנית, סיכוי של דבר אחד אם יודעים שדבר שני קרה.

כאשר יודעים ש־B קרה, בודקים את הסיכוי ש־A יקרה מתוך האפשרויות שנותרו. זה נכתב כך: P(A|B) כלומר "הסיכוי של A כש־B קרה".

יש שתי קופות חולים. 25% מהאנשים בקופה הקטנה. 75% בקופה הגדולה. 90% מהחברים בקופה הקטנה מרוצים. 80% מהחברים בקופה הגדולה מרוצים.
בסך הכל כ־82.5% מהאנשים מרוצים.
אם אדם מרוצה, הסיכוי שהוא שייך לקופה הקטנה הוא כ־27%. לכן הפרסומת של הקופה הקטנה שגויה. רוב האנשים המרוצים שייכים לקופה הגדולה, כי רוב התושבים שייכים אליה.