טנזור השדה האלקטרומגנטי

טנזור השדה האלקטרומגנטי מתאר מתמטית את השדה החשמלי והשדה המגנטי כישות אחת בתוך תורת היחסות. זה טנזור מדרגה 2, אנטי-סימטרי, וקו‑וריאנטי לורנץ (כלומר הוא מתנהג נכון תחת טרנספורמציות לורנץ).

הפוטנציאל האלקטרומגנטי נכתּב כ-4‑וקטור A^μ = (φ/c, ​\vec{A}) - כלומר צירוף של פוטנציאל סקאלרי φ ופוטנציאל וקטורי ​\vec{A}. טנזור השדה מוגדר כנגזרת החיצונית (d הוא דיפרנציאל דה‑ראם) של הפוטנציאל: F = dA. ברכיבים זה אומר
F_{μν} = ∂_μ A_ν - ∂_ν A_μ,
כאשר ∂_μ הוא הגרדיאנט התואם לקואורדינטה x^μ.

רכיבי F מקשרים את E, השדה החשמלי, ואת B, השדה המגנטי. במטריצה 4×4 הרכיבים של F כוללים E_x/c, E_y/c, E_z/c בצד העליון, ושאר הרכיבים קשורים ל-B. מהירות האור c נכנסת ליחס בין מרכיבים אלה.

F הוא אנטי‑סימטרי: F_{μν} = -F_{νμ}. זה פירושו שאין רכיבים על האלכסון, והרכיבים מתחלפים בסימן במעבר בין אינדקסים.

הבנת חלק זה דורשת ידע בגאומטריה דיפרנציאלית. ניתן לראות את A כחד‑תבנית (one‑form) ​ ilde{A} = A_μ dx^μ, ואז F = d​ ilde{A} היא דו‑תבנית (two‑form). המושג דו‑תבנית משקף אנטי‑סימטריה טבעית ברכיבים.

הייצוג באמצעות דיפרנציאל דה‑ראם מדגיש שהמכפלה בין dx^μ ל‑dx^ν היא מכפלת יתד (wedge product). מכפלה זו שומרת על אנטי‑סימטריות ומשמשת לבנייה של תבניות חדשות מהמוכרות.

זהות מתמטית של דיפרנציאל דה‑ראם, d^2 = 0, נותנת dF = 0. זו אחת ממשוואות מקסוול ההומוגניות (זהות ביאנקי). אם נגדיר את הדואל של הודג' של F, *F, אז הביטוי d(*F) = J מקשר בין השדה לצפיפות הזרם והמטען J (4‑וקטור צפיפות הזרם). מהצורה הזו נובע גם חוק המשכיות ∂_ν j^ν = 0, כי d^2 = 0 מחזירה 0.

בפורמליזם של קשרים (connection) אפשר לראות את A כקשר, ו‑F היא העקמומיות (curvature) שלו. פירוש פיזיקלי מופיע גם במכניקה וקוונטים: בתוך הביטוי לאנרגיה הקינטית מופיעה ההחלפה p → p + (e/c)A, והגזירה הקו‑וריאנטית (covariant derivative) כוללת את A. במקרה זה F מייצג את העקמומיות שנוצרת על ידי אותו קשר, והזהות הביאנקית היא מקרה פרטי של זה בתורת הקשרים.

טנזור השדה האלקטרומגנטי הוא דרך לתאר יחד את השדה החשמלי והשדה המגנטי. זהו אובייקט מתמטי שעוזר להבין איך השדות משתנים במרחב ובזמן.

יש משהו שנקרא פוטנציאל. פוטנציאל הוא ארבעה מספרים שמספרים על מצב השדה. קוראים לזה 4‑וקטור. מטפלים בו כקבוצה: (φ/c, A). הטנזור F נקבל על ידי לקיחת ההפרש בין נגזרות של הפוטנציאל. אפשר להבין את זה כדרך לחשב איך השדה משתנה.

F מכיל בתוכו את השדה החשמלי E ואת השדה המגנטי B. במבנה שלו רואים את מרכיבי E בצד אחד ואת מרכיבי B בצד השני.

F הוא אנטי‑סימטרי. זו דרך לומר שרכיבים מסוימים שווים למינוס של אחרים. זה חשוב במתמטיקה של השדה.

אם כותבים את הפוטנציאל כ"תבנית" של מספרים, אז F הוא דיפרנציאל שלה. המילה דיפרנציאל כאן אומרת "הפרש קטן" בין ערכים קרובים. יש גם פעולה שנקראת מכפלת יתד (wedge). היא עושה את המידע אנטי‑סימטרי.

חוק מתמטי פשוט אומר שדיפרנציאל של דיפרנציאל שווה אפס. מכאן מתקבל חלק ממשוואות מקסוול, אלה חוקים שמתארים חשמל ומגנטיות. יש גם דואל שנקרא *F. אם עושים דיפרנציאל ל-*F מקבלים J, שמייצג את המטען והזרם. מהחישוב הזה גם יוצא שחיבור ופרטים של מטען נשמרים לאורך זמן.

אפשר לחשוב על A כעל "חוט" שמחובר למרחב. אם מסובבים וקטור סביב לולאה קטנה, הוא משתנה לפי משהו שנקרא עקמומיות. F מודד את העקמומיות הזאת. בפיזיקה זה קשור לדרך שבה הפוטנציאל משפיע על חלקיקים, למשל כשהמחברים p מתחלפים ב‑p + (e/c)A.