טנזור מאמצים

טנזור המאמצים (נקרא גם טנזור המאמצים של קושי) מתאר את הכוחות הפנימיים שפועלים על יחידת נפח בחומר שנמצא בעומס חיצוני. טנזור זה מיוצג כמטריצה של 3×3 מספרים. כל שורה ועמודה מתארות כיוונים במרחב, והאיבר σ_{ij} מראה את הכוח בכיוון j הפועל על פאה שהניצב לכיוון i.

אם i = j מדובר במאמץ נורמלי, כוח לוחץ או מושך שנפעל בדרך ישרה על הפאה. אם i ≠ j מדובר במאמץ גזירה, כוח שמנסה להחליק או לעוות את הפאה במקביל לה.

מטעם העקרון של שימור התנע הזוויתי, הטנזור סימטרי כלומר σ_{ij} = σ_{ji}. בגלל הסימטריה ישנם שישה רכיבים בלתי תלויים במקום תשעה.

תנאי שיווי משקל מכני דורש שסכום הכוחות על יחידת נפח יתאפס. באופן מתמטי זה מבוטא על ידי ההתבדרות (divergence) של טנזור המאמצים יחד עם כוחות חיצוניים: ∇·σ + F_ext = 0. כאן F_ext מייצג את מושקל הכוחות החיצוניים ליחידת נפח, למשל כוח הכבידה במקרים הסטטיים.


בייצוג הכללי משתמשים באינדקסים 1,2,3. כך הטנזור נראה כמטריצה עם σ_{11}, σ_{12} וכן הלאה. חוק הוק בקביעת המתיחה-מאמץ ניתן לנסח על ידי מכפלה של טנזור הקשיחות C עם טנזור המעוותים ε: σ_{ij} = Σ_{kl} C_{ijkl}·ε_{kl}. כאן C הוא טנזור המתאר את התכונות החומריות.


בתורת היחסות טנזור המאמצים מופיע כחלק מטנזור 4×4 הקרוי טנזור צפיפות האנרגיה-מומנטום (T_{μν}). טנזור זה כולל צפיפות אנרגיה, זרמי אנרגיה ותנע, ואת תת־המטריצה של טנזור המאמצים. הוא מופיע במשוואת השדה של איינשטיין שמחברת בין עקמומיות המרחב-זמן להפצת המסה, האנרגיה והתנע.

טנזור המאמצים הוא דרך לתאר את הכוחות בתוך חומר. טנזור זה נראה כמו טבלה של שלוש שורות ושלוש עמודות. כל מספר בטבלה מראה כוח בכיוון מסוים על פאה קטנה של החומר.

מספרים על האלכסון מראים לחיצה או מתיחה ישרה. זאת אומרת כוח שנלחץ או נמתח בדרך ישרה. המספרים שאינם על האלכסון מראים כוח שמנסה להחליק פאה. זה נקרא מאמץ גזירה. מאמץ גזירה הוא כוח שמזיז שכבה אחת של החומר יחסית לאחרת.

הטבלה תמיד סימטרית. סימטרי אומר שמספרים משני צדי האלכסון זהים. לכן יש רק שישה מספרים חשובים.


אפשר לכתוב את הטנזור בעזרת מספרים עם שמות 1,2,3. חוק הוק, שהוא כלל בחומרים גמישים, מקשר בין השינוי בצורה (מעוות) לבין המאמץ.


בתורת היחסות יש טנזור גדול יותר שכולל גם את טנזור המאמצים. טנזור זה מראה איפה האנרגיה והחומר נמצאים במרחב-זמן. הוא עוזר להבין איך מסה ואנרגיה מעקמות את המרחב.