טנזור השדה האלקטרומגנטי
טנזור השדה האלקטרומגנטי הוא דרך לתאר יחד את השדה החשמלי והשדה המגנטי. זהו אובייקט מתמטי שעוזר להבין איך השדות משתנים במרחב ובזמן. יש משהו שנקרא פוטנציאל. פוטנציאל הוא ארבעה מספרים שמספרים על מצב השדה. קוראים לזה 4‑וקטור. מטפלים בו כקבוצה: (φ/c, A). הטנזור F נקבל על ידי לקיחת ההפרש בין נגזרות של הפו...
טנזור מאמצים
טנזור המאמצים הוא דרך לתאר את הכוחות בתוך חומר. טנזור זה נראה כמו טבלה של שלוש שורות ושלוש עמודות. כל מספר בטבלה מראה כוח בכיוון מסוים על פאה קטנה של החומר. מספרים על האלכסון מראים לחיצה או מתיחה ישרה. זאת אומרת כוח שנלחץ או נמתח בדרך ישרה. המספרים שאינם על האלכסון מראים כוח שמנסה להחליק פאה. זה נ...
טנזור
טנזור הוא כלי מתמטי שמקבל וקטורים ו"פונקציות שמודדות וקטורים" ומחזיר מספר. פונקציה כזו שנקראת ליניארית היא כזו שמגיבה בצורה פשוטה לחיבור וכפל במספר. טנזור אפשר להציג גם בתור טבלה של מספרים. הטבלה תלויה באופן שבו בוחרים לצייר או למדוד את הצירים, אבל הרעיון מאחורי הטנזור נשאר זהה. מספר בודד (כמו מסה...
מאמצים ראשיים
מאמצים ראשיים הם הכוחות הפנימיים על מישור שבו הגזירה אפס. גזירה היא כוח שמנסה להזיז שכבות אחת על השנייה. לכל נקודה בגוף יש שני מישורים ניצבים כאלה. הם נקראים מישורים ראשיים. בערכים האלה הכוח נמתח הכי הרבה או נלחץ הכי הרבה. מישהו בשם קושי גילה את הרעיון הזה. כדי להבין את המאמצים משתמשים בשרטוט שנ...
מטריקה
מטריקה היא חוק שאומר כמה מרוחק דבר אחד מדבר אחר. היא נותנת מספר לא שלילי לכל זוג נקודות. היא חייבת לקיים שלוש כללים: אם המרחק אפס אז זו אותה נקודה. המרחק לא משתנה אם מחליפים ביניהן את הנקודות. הדרך הישירה לא יכולה להיות ארוכה יותר מדרך שעוברת דרך נקודות ביניים. נתינה של קבוצת נקודות ו"חוק מרחק" בין...
הסכם הסכימה של איינשטיין
טנזור הוא ארגז של מספרים. כל מספר מקושר לתווית שנקראת אינדקס. דרגת הטנזור אומרת כמה תוויות יש. יש שני סוגי אינדקסים. אינדקס עליון ואינדקס תחתון. אפשר לשנות אינדקס עליון לתחתון בעזרת מטריקה. מטריקה היא כמו טבלה שמגדירה מרחקים. חוק האיינשטיין אומר: אם אותו אינדקס מופיע פעם למעלה ופעם למטה, מסכמים ...
שדה (פיזיקה)
שדה בפיזיקה אומר שיש משהו שקיים בכל מקום. לדוגמה, הטמפרטורה היא שדה. לכל נקודה יש מספר שמראה כמה חם. מספר כזה נקרא סקלר. יש גם שדות שמראים כיוון וכוח. אלה נקראים שדות וקטוריים. השדה האלקטרומגנטי נותן ערכים חשמליים ומגנטיים בכל מקום. גם כוח הכבידה מתואר בעזרת טנזור. טנזור הוא מבנה מתמטי שמסביר קשרים...
סימון דיראק
סימון דיראק הוא דרך לכתוב מצבים בקוונטום. פול דיראק הגה אותו. יש שני חלקים חשובים: ברה וקט. ברא וקט הם סימנים שמחברים מצבים. כשמחברים ברה וקט מקבלים מספר. מספר זה מראה כמה סביר שיקרה משהו. פונקציית גל ψ(r) מראה היכן החלקיק עשוי להימצא. קט הוא הייצוג של מצב. ברה הוא "המצמיד" שלו. הצמדתם נותנת משרעת...
אלומה הפיכה
אלומה הפיכה היא אלומה שיש לה אלומה הפוכה. אלומה היא אוסף נתונים שמחובר לכל נקודה במרחב. אלומת המבנה היא האלומה שמכילה פונקציות ומידע מקומי על המרחב. אם X חלקה ו-L הוא אגד קווי, אלומת החתכים של L היא אלומה הפיכה. על מרחב פשוט אפיני, אלומות הפיכות קשורות למודולים מיוחדים. על מרחב פרוייקטיבי P^n יש א...
העתקה מקבילה
הזזה מקבילית היא דרך לגרור חץ קטן שנקרא וקטור (חץ עם כיוון ואורך). אם המשטח ישר, החץ נשאר אותו דבר בכל הדרך. אם המשטח מעוקם, החץ יכול להשתנות בדרך. אם מסיירים עם החץ סביב לולאה, הוא אולי יחזור שונה מההתחלה. השינוי הזה מראה כמה המקום מעוקם. המסלול ששומר על החץ נקרא גאודזה (הדרך הכי ישרה שניתן לל...
הצגה ליניארית
הצגה ליניארית היא דרך לראות איברי חבורה כאופרטורים על וקטורים. אופרטור הוא פעולה שממירה וקטור לווקטור אחר. זה נעשה על ידי העתקה ששומרת על חוקי החבורה. העתקה כזו קוראים הומומורפיזם. היא אומרת: כשמכפילים שני איברים בחבורה, זה כמו להרכיב שתי פעולות על הווקטור. אם המרחב קטן אפשר לכתוב את הפעולות כמטרי...
אלסטיות
אלסטיות או גמישות אומרת כמה חומר חוזר לצורתו אחרי שעיוותו. יש שני דברים חשובים למדוד: כמה קשה לעוות חומר, וכמה הוא יכול להימתח בלי להישאר מעוות. המדידה נעשית ביחידות של לחץ שנקראות פסקל. כוח משנה את הצורה של גוף. לפעמים כל הגוף זז ביחד. זה נקרא הזזה של גוף קשיח. לפעמים המרחקים בין חלקיקים משתנים. ...
מרסל גרוסמן
מרסל גרוסמן נולד בבודפשט ב-1878 ונפטר בציריך ב-1936. הוא היה מתמטיקאי יהודי-הונגרי. בגיל 15 המשפחה עברה לשווייץ. גרוסמן למד במכון הטכנולוגי של ציריך. שם היה חבר לכיתה של אלברט איינשטיין ומילבה מאריץ'. ב-1902 קיבל דוקטורט מאוניברסיטת ציריך. הוא עזר לאיינשטיין מבחינה מתמטית. גרוסמן הדגיש גאומטריה די...
משפט שטיינר-הויגנס
המשפט מסביר איך לשנות "כמה קשה לסובב" דבר סביב ציר. "כמה קשה לסובב" קוראים לו מומנט התמד. אם יודעים את המומנט סביב ציר שעובר במרכז הגוף, אפשר למצוא את המומנט סביב ציר מקביל שמרוחק מרחק r. מוסיפים למסור המסה את המסה כפול המרחק בריבוע. כך מחשבים במהירות מומנטים חדשים. ההוכחה פשוטה. פותחים את הביטוי ...
מומנט התמד
מומנט ההתמד זה מושג שאומר כמה קשה לשנות סיבוב של דבר מה. ציר סיבוב זה הקו שסביבו מסתובב הגוף. ככל שהמשקל רחוק יותר מהציר, קשה יותר לשנות את הסיבוב. כדורסל קל יותר לסובב מאשר כדור באולינג. זאת כי הכדורסל קל והמסה שלו קרובה יותר לציר. משקולת שיש לה משקל בקצוות קשה יותר לעצור. יש גם דוגמה של מכונית...
סקלר (פיזיקה)
סקלר הוא גודל פיזיקלי שמיוצג על ידי מספר בודד. זהו מספר בלי כיוון. דוגמאות פשוטות הן זמן, מסה, אנרגיה וטמפרטורה. אם מסובבים את המערכת, סקלר נשאר אותו דבר. וקטור הוא כמו חץ: יש לו כיוון ואורך. האורך של החץ הוא סקלר. החלק של החץ על קו אינו סקלר, כי הוא משתנה בסיבוב. חלק מהגדלים נשארים זהים גם לצופי...
אלגברה לא אסוציאטיבית
אלגברה לא אסוציאטיבית היא אלגברה שבה לא תמיד אפשר לשנות סדר גרעיני של כפל. זה אומר ש־(xy)z לא תמיד שווה ל־x(yz). יש כאן גם אלגברות רגילות (אסוציאטיביות). הגרעין הוא קבוצת האיברים שעושים שהחוסר אסוציאטיביות נעלם. המרכז הוא חלק מהגרעין שמתחלף עם כל שאר האיברים. יש משפחות מפורסמות, למשל אלגברות לי וא...
אלגברה ליניארית
אלגברה ליניארית אלגברה ליניארית עוסקת במשוואות פשוטות שבהן המשתנים עומדים בקו ישר ביחס למספרים. וקטור זה רשימה של מספרים. מקובל לכתוב וקטור כ-(x1,x2,...). העבודה החלה כבר לפני מאות שנים. דקארט נתן דרך לציין נקודות עם זוג מספרים. מאוחר יותר גאוס המציא שיטה לפתרון משוואות. שדה הוא סוג של "מספרים...
אוגוסטן לואי קושי
אוגוסטן לואי קושי נולד בפריז ב‑1789. הוא למד הנדסה ומתמטיקה. אביו הכיר מתמטיקאים חשובים. הוא עבד במקומות כמו האקול פוליטקניק. נסע לאיטליה ולמד בטורינו. לימד גם נערים של משפחות חשובות. קושי היה מתמטיקאי שקפדן על הוכחות. זאת אומרת שהוא רצה שכל דבר יהיה מוסבר בדיוק. הוא פרסם הרבה מאמרים על נושאים שו...