יחס הזהב

יחס הזהב הוא מספר אי־רציונלי, כלומר מספר שלא ניתן לבטא כשבר מדויק, שמוערך בכ־1.618. את הסמל φ הציע המתמטיקאי מארק באר; השם נועד גם להזכיר את הפסל היווני פידיאס. יחס הזהב מקיים את הקשר המתמטי φ² = φ + 1, ומשום כך מופיע בתכונות גאומטריות ואלגבריות רבות.


שני גדלים נקראים ביחס הזהב אם היחס בין הסכום שלהם לבין הגדול שווה ליחס בין הגדול לקטן. אלגברית זה מוביל למשוואה שחילוף הערכים שלה נותן את φ.


ניתן לבנות סדרת מלבנים ושימוש בריבועים לפי סדרת פיבונאצ'י (אשר מתחילה ב־1,1 וכל איבר הוא סכום שני הקודמים). המלבנים האלה מתקרבים למלבן שהיחס בין צלעותיו הוא יחס הזהב. גם צורת הספיר שנוצרת בקירוב מקושרת לרעיון זה.


סדרת פיבונאצ'י מתחילה 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,… כל מספר הוא סכום שני הקודמים. יחס בין שני איברים סמוכים בסדרה שואף ל־φ ככל שאנו מתקדמים. זו אחת הדרכים הפשוטות להקשר בין יחס הזהב למספרים.


מלבן הזהב הוא מלבן שהיחס בין צלעותיו שווה ל־φ. תכונה חשובה: הוספת ריבוע למלבן כזה יוצרת מלבן חדש שגם הוא יחסי זהב. גם במחומש משוכלל ובפנטגרם (כוכב מחומש) מופיעים יחסיים של φ בין קטעים שונים.


חלקי המעגל שנקבעים לפי יחס הזהב נותנים זווית של כ־137.5 מעלות. זווית זו מופיעה בטבע, לדוגמה בזוויות שבהן צומחים עלים על גבעול (פִילוֹטַקסיס, סדר הופעת עלים).


יחס הזהב מוזכר בטבע, באמנות ובאדריכלות. כבר ביוון העתיקה ובימי הרנסאנס שימשו בו כביכול כדי להשיג פרופורציות "יפות"; לוקה פאצ'ולי כתב על כך ספר, ולאונרדו דה וינצ'י אייר אותו. טענות על שימוש מדויק ביחס הזהב בפרתנון או בפירמידה של גיזה שנויה במחלוקת. כיום יחס הזהב עדיין מופיע בעיצוב ובגרפיקה, ולפעמים נעשה בו שימוש כדי להתאים פרופורציות בעבודות ובמבנים.


קיימים קבועים קרובים אחרים שנקראים "ממוצעי הכסף" ומוגדרים בדרך אנלוגית. יחס הזהב הוא המקרה n=1 במשפחה זו. יש נוסחאות וקשרים אלגבריים מקשרים בין קבועים אלה לסדרות מספריות שונות.

תכונות אלה הופכות את יחס הזהב למושא חקירה מתמטי וגם לנוסחה מעוררת השראה באמנות ובטבע.

יחס הזהב הוא מספר שקרוב ל־1.618. המספר נקרא גם "חתך הזהב". האות φ משויכת לפידיאס, פסל יווני.


אם נחלק שני גדלים נכון, נקבל את היחס המיוחד הזה. הוא יוצא שוב ושוב בצורות טבעיות ואמנות.


סדרת פיבונאצ'י מתחילה 1,1 ואז כל מספר הוא סכום של שני קודמים. כשמצמידים ריבועים בגודל לפי הסדרה, נוצרת צורה שמזכירה יחס הזהב.


מלבן זהו מלבן שהצלעות שלו ביחס של כ־1.618. אם מוסיפים לו ריבוע בצד, מקבלים שוב מלבן כזה.


במחומש ובכוכב מחומש (פנטגרם) מופיעים חלקים שקשורים ליחס הזהב. גם צמחים מסוימים מגדלים עלים בזווית שקשורה ליחס הזהב.


אמנים ובוני מבנים השתמשו ביחס הזהב כדי לתכנן פרופורציות. לאונרדו דה וינצ'י וספרי רנסאנס מזכירים אותו. יש שרואים אותו בפרתנון ובפירמידות, אך זה לא תמיד ודאי.

יחס הזהב הוא שילוב של מספר מעניין, צורות וחיבור בין מתמטיקה לטבע ולאמנות.