קואורדינטות כדוריות

קואורדינטות כדוריות (נקראות גם קואורדינטות ספריות) הן דרך לתאר כל נקודה במרחב התלת־ממדי. כל נקודה מוגדרת על ידי שלושה מספרים: r, θ (תיאטה) וφ (פי). r הוא המרחוק מהראשית.

ממשיכים חץ מהראשית אל הנקודה; החץ הזה הוא וקטור (וקטור = חץ שמצביע בכיוון ומייצג מרחק). r הוא האורך של החץ. θ היא הזווית בין החץ לציר z. φ היא הזווית סביב ציר z. בהסכם המקובל טווח הערכים הוא r≥0, θ∈[0,π], φ∈[0,2π).

הקשר בין קואורדינטות כדוריות לרטוב קרטזיות (x,y,z) הוא:
x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosθ
וההיפוך:
r = √(x^2+y^2+z^2),
θ = arccos(z/r),
φ = atan2(y,x) (יש להשתמש ב־atan2 כדי לקבל את הזווית הנכונה תלוי בסימני x ו‑y).

כמו שקיימים וקטורי יחידה קרטזיים çx,çy,çz, יש גם וקטורי יחידה כדוריים çr,çθ,çφ. אלה מצביעים בכיוונים של r,θ,φ בהתאמה, והם משתנים ממקום למקום.
אפשר לכתוב אותם לפי רכיבים קרטזיים:
çr = (sinθ cosφ)çx + (sinθ sinφ)çy + (cosθ)çz
çθ = (cosθ cosφ)çx + (cosθ sinφ)çy - (sinθ)çz
çφ = -sinφçx + cosφçy
וקטור המיקום מן הראשית הוא פשוט r çr, כלומר אין לו רכיבים בכיוונים çθ וçφ.

המטריקה (אופן מדידת מרחק) בקואורדינטות האלה היא אלכסונית. רכיבי המטריקה החשובים הם g_rr=1, g_{θθ}=r^2, g_{φφ}=r^2 sin^2θ. לכן אלמנט האורך הוא:
dl = dr çr + r dθ çθ + r sinθ dφ çφ

אלמנט נפח אינפיניטסימלי מקבל את הצורה:
dV = r^2 sinθ \, dr \, dθ \, dφ
המשמעות הגאומטרית היא שנפח של חתיכת קליפה תלוי בריבוע המרחק מהמרכז ובזווית.

בקואורדינטות כדוריות יש ביטויים סטנדרטיים לכל פעולות הנגזרות הווקטוריות. לדוגמה, לגרדיאנט של פונקציה f:
∇ f = (∂f/∂r)çr + (1/r)(∂f/∂θ)çθ + (1/(r sinθ))(∂f/∂φ)çφ
הדיברגנץ, הרוטור ולפלסיאן גם ניתנים לביטוי במרכיבים אלה, וכל אחד תלוי ב־r,θ,φ ובפונקציות sinθ.

מיקום נקודה נקודתי הוא r çr. המהירות היא:
v = ˙r çr + r ˙θ çθ + r ˙φ sinθ çφ
כאן נקודתיים (נקודה מעל אות) מסמלים נגזרת לפי הזמן. התאוצה מורכבת מרכיבים ברנט, θ ו־φ וכוללת מונחים כמו r ˙˙, וכן איברים של "קוריוליס" ו"צנטריפוגלי" שמופיעים כתוצאה משינוי הכיוונים של וקטורי היחידה בזמן.

אנרגיה קינטית של חלקיק מסת m ניתנת על ידי סכום ריבועי המהירויות הרלוונטיות:
E_k = (1/2)m [˙r^2 + (r˙θ)^2 + (r˙φ sinθ)^2].

זו דרך לספר בדיוק איפה נקודה נמצאת במרחב תלת־ממדי. משתמשים בשלושה דברים: מרחק וזוג זוויות.

ראשית הצירים היא הנקודה שממנה מודדים (המרכז). ר (r) הוא המרחק מהמרכז.
θ היא הזווית בין הקו לנקודה וציר z. φ היא הזווית סביב ציר z.

יש שלושה כיוונים עיקריים: לכיוון החוצה (רדיואלי), למעלה־מטה של הזווית, ולסיבוב סביב הציר. וקטור יחידה הוא וקטור שאורכו 1 ומצביע בכיוון כזה.
וקטור המיקום של נקודה מהמרכז הוא פשוט מרחק הרכי r בכיוון הרדיואלי.

כשמחשבים נפחים קטנים בקואורדינטות אלה, הם גדלים עם ריבוע המרחק מהמרכז. הנפח של חתיכה קטנה תלוי גם בזווית.

מהירות של חלקיק במסלול כדורי נבנית משלושה חלקים: שינוי המרחק, שינוי בזווית θ ושינוי בסיבוב φ. התאוצה נובעת משינויים אלה יחד.

מילים מסובכות:
וקטור = חץ שמראה כיוון ואורך.
זווית = מידת סיבוב בין שני קווים.
מרחק = כמה רחוק מהמרכז.