במתמטיקה יריעה היא מרחב מופשט שמקומית (באזור קטן סביב כל נקודה) נראה כמו מרחב אוקלידי רגיל. כלומר בכל נקודה ישנה סביבה שניתנת להתאמה (הומיאומורפיזם, התאמה רציפה עם הופכי רציף) לקבוצה פתוחה ב‑R^n. יחד זה נותן מבנה שמקרוב נראה 'שטוח', אבל גלובלית יכול להיות עקום או עם צורה שונה, כמו שטח פני כדור הארץ.
חלקים קטנים של היריעה שמזהים עם קבוצות פתוחות ב‑R^n נקראים מפות (או מפות־קואורדינטות). האוסף של כל המפות נקרא אטלס. המפה היא בזוית מעין 'תרשים' שמקשר בין הנקודות על היריעה ונקודות במרחב האוקלידי.
יריעה טופולוגית היא מרחב האוסדורף (שתי נקודות ניתנות להפרדה) שמקיים את אקסיומת המנייה השנייה, ובכל נקודה יש סביבה ההומיאומורפית ל‑R^n. ממד היריעה הוא המספר n שמופיע בהשוואה ל‑R^n.
באופן פורמלי יש כיסוי פתוח של M על ידי קבוצות U_alpha שכל אחת מהן הומיאומורפית לקבוצה פתוחה ב‑R^n בעזרת פונקציות phi_alpha. על החפיפות בין מפות דרושה רציפות של ההרכבות phi_alpha ◦ phi_beta^{-1} тамית, כלומר המעברים בין קואורדינטות רציפים. דרישה זו מאפשרת להעביר את מבנה ה‑R^n אל המרחב M ולבנות טופולוגיה מתאימה. כדי לקבל מרחב האוסדורף מוסיפים תנאי הפרדה בין נקודות.
ביריעה חלקה דורשים שהמעברים בין מפות יהיו פונקציות חלקות (כל הדרגות של נגזרת קיימות). אטלס שבו המעברים חלקים נקרא אטלס דיפרנציאלי. שני אטלסים שקולים אם האיחוד שלהם עדיין יוצר אטלס דיפרנציאלי. יריעה חלקה מאפשרת לבצע חשבון דיפרנציאלי: להגדיר נגזרות, משוואות דיפרנציאליות ועוד. תוספות מבנה על היריעה מניבות עצמים חשובים, למשל חבורת לי (אם יש פעולות חלקות של כפל והופכי) או יריעה רימנית (אם יש מטריקה חלקה).
המעגל S^1 הוא יריעה חלקה מממד 1. אפשר לכסות אותו במפות שמטילות נקודות על ציר ה‑y, וכך מגדירים קואורדינטות מקומיות. בזיהוי שלו כמקבילית במישור המרוכבים, יש ל‑S^1 גם מבנה של חבורה.
פונקציה f: M → R נקראת חלקה בנקודה p אם קיימת מפת קואורדינטות כך ש‑f ◦ phi^{-1} היא פונקציה חלקה על R^n. ההגדרה אינה תלויה במפה כי המעברים חלקים. באופן כללי, מפה בין שתי יריעות היא חלקה אם הביטוי שלה במפות הוא חלקי. עקומות חלקות על היריעה מוגדרות כאחרות חלקות בין מקטע פתוח ב‑R ל‑M. אפשר גם לבנות פונקציות חלקות עם תמיכה קטנה (bump functions), שימושיות בהוכחות רבות.
המרחב המשיק T_pM בנקודה p הוא מרחב וקטורי שמייצג קירוב ליניארי של היריעה סביב p. איבריו הם הקשר לדרכים השונות לנוע על היריעה, וניתן להגדירם כאופרטורים ליניאריים שפועלים על פונקציות חלקות ומקיימים את כלל לייבניץ: v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g). הווקטורים האלה נקראים וקטורים משיקים.
ביריעה אנליטית דורשים שהמעברים בין מפות יהיו אנליטיים (ניתנים להרחבה לטור חזק), ולא רק חלקים. ההבדל העיקרי הוא שחילוק יחידה אנליטי לעולם אינו זמין באופן כללי, בעוד שבסביבה החלקה קיימת תמיד אפשרות כזו.
מלבד S^1 יש עוד יריעות מוכרות (כדוגמת משטחים ויריעות מממדים גבוהים). ברוב המקרים שומרים על רעיון המפות והמעברים כדי להבין את המבנה המקומי של העצמים.
יריעה היא מקום מיוחד במתמטיקה. באזור קטן היא נראית כמו חלק ישר של שטח. אבל כולו יכול להיות מעוקל, כמו כדור.
מפה היא דרך להראות חלק קטן של היריעה כמו קטע על נייר. אטלס הוא אוסף מפות שמכסה את כל המקום.
יריעה טופולוגית היא מקום שבו לכל נקודה יש שכונה שנראית כמו שטח רגיל.
פורמלית מכסים את המקום בחלקים שכל אחד מהם מתאים לקטע ב‑R. על החפיפות בין חלקים צריך להיות קישור פשוט בין שתי המפות.
ביריעה חלקה הקישורים בין המפות חלקים, כלומר אפשר לעשות עליהם חישוב כגון נגזרות. זה מאפשר לפתור בעיות עם חשבון.
מעגל הוא דוגמה פשוטה. אפשר לחתוך אותו לשני חתכים ולהשתמש במפות כדי למדוד נקודות.
פונקציה חלקה על יריעה היא כזו שאם משתמשים במפה, היא חלקה כמו בפועל על נייר. זה לא תלוי במפה שבחרנו.
בכל נקודה יש מרחב וקטורי קטן שנקרא המרחב המשיק. הוא מראה את כל הכיוונים שאפשר ללכת מהם.
ביריעה אנליטית הקישורים בין המפות חזקים מאוד ואפשר לכתוב אותם בעזרת סדרות מיוחדות. זה שונה מ'חלקות', ויש מוסכמות שמתאימות לכל סוג.
תגובות גולשים