יריעה חלקה
יריעה חלקה היא מקום שבו כל נקודה נראית כמו חלק קטן מהמישור. מפה היא דרך להמיר חלק מהיריעה לנקודה ב-R^n. אוסף מפות שמתאימות אחת לשנייה נקרא אטלס דיפרנציאלי. היריעה חשובה כי מאפשרת לעשות חישובים כמו במישור. אפשר להוסיף לה מבנים נוספים. לדוגמה, אם שמים עליה חוקי כפל חלקים, מקבלים חבורה מיוחדת. יש דרך...
יריעה טופולוגית
יריעה טופולוגית היא מרחב ש"נראה" בקרבה כמו המרחב הרגיל R^n. כלומר, סביב כל נקודה יש אזור שדומה ל-R^n. "דומה" כאן פירושו הומיאומורפית; זה אומר שאפשר לעקם את האזור בלי לקרוע. מפת קשר בין האזור ל-R^n נקראת מפה. אוסף המפות שנוגע בכל המרחב נקרא אטלס. הקואורדינטות המקומיות הן המספרים שמקבלים מהמפה. יש ...
יריעה
יריעה היא מקום מיוחד במתמטיקה. באזור קטן היא נראית כמו חלק ישר של שטח. אבל כולו יכול להיות מעוקל, כמו כדור. מפה היא דרך להראות חלק קטן של היריעה כמו קטע על נייר. אטלס הוא אוסף מפות שמכסה את כל המקום. יריעה טופולוגית היא מקום שבו לכל נקודה יש שכונה שנראית כמו שטח רגיל. פורמלית מכסים את המקום בחלקי...
משטח אלגברי
משטח אלגבריי הוא צורה מתמטית עם שני ממדים. יריעה אלגברית, חלק במתמטיקה שמגדירים בעזרת משוואות. אם אין נקודות סינגולריות, נקודות בעייתיות, המשטח חלק. אם עובדים עם מספרים מרוכבים, רואים את המשטח כבעל שתי מידות מרוכבות. אם עובדים עם מספרים ממשיים רגילים, רואים אותו כצורה בעלת ארבע ממדים....
גאומטריה אלגברית
גאומטריה אלגברית היא חיבור בין אלגברה וגאומטריה. זה אומר שבוחנים צורות כמו עקומות ומשטחים וגם את המשוואות שמייצרות אותן. קבוצה אלגברית היא כל הנקודות שמאפסים את אותם פולינומים. לדוגמה, הכדור הוא כל הנקודות שהחיבור של הריבועים של שלושת הקואורדינטות שווה ל־1. אם יש שני פולינומים, נבדוק את הנקודות שב...
חבורת לי
חבורת לי היא קבוצה שיש עליה גם חוקים של חבורה וגם צורה חלקה. צורה חלקה זה כמו משטח בלי קפלים. בחבורה יש כפל והופכי. בכוחנו לעבור על פעולות אלה בעדינות. חבורת לי נקראת על שם מתמטיקאי בשם סופוס לי. אלגברת לי היא אוסף הכיוונים ליד נקודת הזהות של החבורה. כיוונים אלה מסבירים איך לנוע מעט מהנקודה. יש שם...
תוף מרים
תוף מרים (טמבורין) הוא כלי הקשה. כלי הקשה זה עושה צליל כשמכה בו. הוא בנוי ממסגרת עגולה. על המסגרת יש מצילות. מצילות הן פעמונים קטנים. לפעמים יש יריעה. יריעה היא משטח מתוח מעור או בד. מנגנים בו ביד. מכים על היריעה או מנענעים את התוף. המצילות מצלצלות וככה יוצא הקצב. כלי דומה נמצא בעיראק לפני אלפי ש...
השערת פואנקרה
יריעה היא צורה שבה כל נקודה קרובה נראית כמו שטח ישר. לדוגמה, פני כדור נראים שטוחים מקרוב. השאלה של פואנקרה: אם כל לולאה על גוף תלת־ממדי אפשר לכווץ לנקודה, האם הגוף הוא כמו סְפִירָה תלת־ממדית? הסבר למילה לולאה: לולאה היא קו שסגור על עצמו. לכווץ לולאה זה להפוך אותה לנקודה בלי לקרוע. - פואנקרה חשב ע...
דיפאומורפיזם
דיפאומורפיזם הוא מפה חלקה שיש לה גם מפה הפוכה חלקה. "חלקה" אומר שאפשר לגזור אותה. לגזור זה למדוד שיפוע. יריעה היא מרחב חלק. זו דמות או משטח שבלי פינות חדות, כמו חלק מקלף של תפוח או משטח חלק. אם יש מפה כזו בין שתי יריעות, אומרים שהן דיפאומורפיות. זה אומר שהן דומות מאוד מבחינה חלקה. דוגמה פשוטה: הק...
קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית
גאומטריה דיפרנציאלית (גד"ר) בוחנת מרחבים חלקים. מרחב חלק (יריעה חלקה) הוא מקום שנראה כמו עקומה או משטח. זה כולל עקומות, משטחים והיפר-משטחים. על המרחבים מוסיפים כלים כמו מטריקה. מטריקה היא דרך למדוד מרחקים....
יריעת קאלאבי-יאו
יריעות קאלאבי-יאו הן צורות מיוחדות בגאומטריה. "יריעה" כאן אומרת "צורה חלקה". הן נחשבות חשובות כי יש להן תכונה מתמטית מיוחדת. בשנת 1957 הציע מתמטיקאי בשם קאלאבי רעיון על צורות כאלה. בשנת 1977 יאו הוכיח שהוא צודק. באופן פשוט, יריעה כזו היא צורה חלקה וסגורה שיש עליה "תבנית עליונה הולומורפית". זה אומר...
הספירה של רימן
הספֵירה של רימן היא המישור של המספרים המרוכבים עם נקודה אחת נוספת. את הנקודה הזו קוראים "אינסוף". אפשר לדמיין את זה ככדור. נקודת ה"צפון" של הכדור היא האינסוף ונקודת ה"דרום" היא האפס. יש הטלה סטריאוגרפית. זה מיפוי שמקשר כל נקודה בכדור לנקודה במישור. קו ישר במישור נראה על הכדור כמעגל. שני קווים מקביל...
מטריקה רימנית
מטריקה רימנית קובעת איך למדוד אורכים וזוויות על שטח חלק. המרחב המשיק הוא המקום שבו מסתכלים על כיוונים בנקודה. המטריקה היא חוק שנותן מספר לכל זוג כיוונים. בעזרת המטריקה אפשר למדוד את האורך של קו. מרחק בין שתי נקודות הוא האורך הקצר ביותר בין שתיהן. כך המטריקה אומרת לנו מי קרוב ומי רחוק. המטריקה גם נ...
שדה וקטורי
שדה וקטורי נותן לכל נקודה על שטח וקטור. וקטור מראה כיוון ועוצמה. יריעה זה שטח חלק שבו עובדים. במרחב תלת־ממדי משתמשים בשדות כדי לתאר זרימה וכוחות. אפשר לכתוב כל וקטור כשילוש של שלוש פונקציות פשוטות. אם x,y,z תלויות בזמן t, השדה נקרא פרמטרי. אז מחשבים את הווקטור לפי t. שטף אומר כמה מהשדה עובר דרך מ...
ממד (מתמטיקה)
ממד אומר כמה דרכים אפשר לזוז או כמה דברים צריך לתאר מקום. נקודה היא אפס‑ממדית. קו הוא חד‑ממדי. מישור ומעגל הם דו‑ממדיים. קובייה וכדור הם תלת‑ממדיים. במרחב וקטורי הממד אומר כמה מספרים (קואורדינטות) צריך כדי לתאר נקודה. בסיס הוא קבוצה של כיוונים שמהם בונים את כל הנקודות. יריעה (כמו סדין או חבל) מק...
סינגולריות (מתמטיקה)
נקודה סינגולרית, נקודה שבה פונקציה מתנהגת מוזר. בדרך כלל הפונקציה לא מוגדרת שם או לא נראית מסודרת. יש שלוש תופעות עיקריות. אפשר להסיר חלק מהבעיות, יש נקודות שבהן הפונקציה הולכת לאינסוף, ויש נקודות שההתנהגות בהן פרועה ביותר. זו נקודה שאפשר לתקן בקלות. מה שעושה בעיה בנקודה נחליף בערך שמתאים, והפונק...
קואורדינטות
קואורדינטות הן קבוצה של מספרים שמראות היכן נקודה נמצאת במרחב. מערכת קואורדינטות היא הדרך שבה בוחרים לציין את המספרים האלה. במפות משתמשים בקווי אורך וקווי רוחב כדי למצוא מקומות על כדור הארץ. קווים אלה יוצרים רשת. בגלל שכדור הארץ עגול, הרשת אינה זהה לרשת שטוחה. כדי למצוא מקום במפה נתונים שני מספרים, ...