כיסוי (טופולוגיה)

במתמטיקה כיסוי של קבוצה הוא משפחה של קבוצות שאיחודן מכיל את הקבוצה הנתונה.

כיסוי של X הוא אוסף תת־קבוצות C_α כך ש‑X ⊆ ⋃_α C_α. תת־כיסוי הוא תת־אוסף של הכיסוי שעדיין מכסה את X. עידון (refinement) הוא כיסוי C שנמצא "עדין" יחסית לכיסוי D: לכל C∈C יש D∈D עם C ⊆ D.

אם כל הקבוצות בכיסוי הן קבוצות פתוחות, קוראים לו כיסוי פתוח. כיסויים פתוחים חשובים בטופולוגיה. כיסוי פתוח נקרא סופי נקודתית אם כל נקודה x שייכת רק למספר סופי של קבוצות בכיסוי. הוא נקרא סופי מקומית אם לכל נקודה x יש סביבה פתוחה U כך שרק מספר סופי של קבוצות בכיסוי חותכות את U. מושג הכיסוי משמש להגדרת רעיונות יסודיים בטופולוגיה.

באופן פשוט, האוסף {X} הוא כיסוי של X. גם {Y, Y^c} מכסה את X עבור כל תת־קבוצה Y⊂X. אם X קבוצה מסודרת ולא חסומה, ניתן לבנות אוסף קבוצות לפי הסדר שמכסה את X. בהקשר טופולוגי, המקרה האחרון יכול להופיע ככיסוי פתוח המשמש כתת־בסיס של סיגמא־אלגברת בורל.

כיסוי הוא אוסף קבוצות שאיחודן מכסה קבוצה נתונה.

תת-כיסוי הוא אוסף קטן יותר שעושה את אותה עבודה. עידון אומר שכל קבוצה בגרסה החדשה נמצאת בתוך קבוצה בגרסה הישנה.

כיסוי פתוח, כל הקבוצות פתוחות. סופי נקודתית, כל נקודה נמצאת רק בכמה קבוצות. סופי מקומית, ליד כל נקודה יש אזור שפוגש רק כמה קבוצות.

האוסף {X} מכסה תמיד את X. גם {Y, Y^c} מכסה את X. יש דוגמאות נוספות בקבוצות מסודרות. בחלקים מתקדמים, הדוגמה האחרונה יכולה לשמש כתת-בסיס של סיגמא-אלגברת בורל (אוסף מיוחד של קבוצות).