חלוקה (תורת הקבוצות)

חלוקה היא אוסף של תת‑קבוצות לא ריקות של קבוצה X. התת‑קבוצות בזוגות זרות זו לזו, והאיחוד שלהן שווה ל‑X.

הכיוון ההפוך נכון גם: לכל חלוקה אפשר למצוא יחס שקילות. יחס שקילות הוא כלל שאומר מתי שני איברים נחשבים שווים בקבוצה. המחלקות של יחס כזה הן תת‑הקבוצות של החלוקה.

על אוסף החלוקות של X מגדירים יחס סדר חלקי שנקרא יחס העידון. אומרים שחלוקה P1 מעודנת יותר מחלוקה P2 אם כל קבוצה ב‑P1 כלולה בקבוצה מסוימת ב‑P2. כלומר החלוקה המעודנת מחלקת קבוצות לקבוצות קטנות יותר. יחס העידון יוצר סריג של חלוקות, כאשר המינימום והמקסימום הם החלוקות הטריוויאליות (הכוללת תת‑הקבוצה היחידה או את כל האיברים כל אחד לבד).

חלוקות של הקבוצה {1,2,...,n} חשובות בקומבינטוריקה ובתחומים אחרים במתמטיקה.

כאשר חבורה G פועלת על קבוצה X (כלומר כל איבר של G מעביר איברים של X), אפשר לבחון חלוקות שאינן משתנות תחת הפעולה. חלוקה נקראת G‑אינווריאנטית אם כל פעולה של g∈G רק מחליפה בין תת‑הקבוצות של החלוקה, ולא יוצרת קבוצה חדשה מחוץ להם. חבורה שהחלוקות האינווריאנטיות היחידות שלה הן החלוקות הטריוויאליות נקראת חבורה פרימיטיבית.

חלוקה מחלקת קבוצה לחלקים. כל חלק לא ריק. החלקים לא חופפים. האיחוד של החלקים נותן את כל הקבוצה.

כל חלוקה נולדת ממעשה של קיבוץ לפי כלל. כלל כזה נקרא יחס שקילות. הוא אומר מתי שני איברים שייכים לאותו חלק.

ניתן לומר שחלוקה אחת דקה יותר מחלוקה אחרת. זה אומר שכל חלק בחלוקה הדקה בתוך חלק בחלוקה העבה.

החלוקות של המספרים 1 עד n חשובות בקומבינטוריקה. קומבינטוריקה היא ענף במתמטיקה שבודק דרכים לסדר ולקבץ.

חבורה היא אוסף של פעולות שמחליפות איברים בקבוצה. חלוקה היא G‑אינווריאנטית אם כל פעולה רק מעבירה חלקים אחד לשני. חבורה פרימיטיבית היא כזו שאין לה חלוקות אינווריאנטיות פרט לטריוויאליות.