כמת

כמת הוא סמל שמציין את התחולה של המשתנה, כלומר על אילו ערכים הוא נאמר. שני הכמתים העיקריים הם "לכל" ו"קיים".

תחשיב הפסוקים (שפת משפטים לוגית) מאפשר לבנות טענות עם חיבורים כמו "או", "וגם" ו"לא". אך שפה זו מטפלת בעיקר בערכים ידועים או בהצהרות פשוטות. כדי לדבר על משתנים באופן כללי משתמשים בתחשיב הפרדיקטים, שבו נוסף שימוש בכמתים. כך אפשר לומר ש"לכל x: φ(x)", כלומר φ תקפה לכל ערך של x, או ש"קיים x: φ(x)", כלומר יש לפחות ערך אחד שעבורו φ נכונה. ללא כמתים ניסוח טענות מתמטיות מורכבות הופך למסורבל, למשל טענות מסוג "לכל אפסILON יש N" שקשה לנסח בתחשיב הפסוקים בלבד.

בעבודה פורמלית מטפלים בכמתים לפי הכללים הצורניים של השפה. כמת יכול להתחבר רק לפסוק תקני, שנקרא "תחום הקשירה", החלק שבו הכמת מחולל את המשתנה. מותר להחליף שם המשתנה בכל שם אחר, בתנאי שמחליפים אותו בכל תחום הקשירה ושם החדש אינו מופיע שם כבר. לכן אין הבדל בין למשל ∀x(∃y: x+y=0) לבין ∀z(∃y: z+y=0), אם ההחלפה נעשתה כהלכה.

בעקרון מספיק אחד משני הכמתים, כי אפשר להגדיר אחד דרך השני. כך "לכל x: φ(x)" שקול ל"אין קיים x שעבורו לא φ(x)". הסימון "קיים ויחיד" מציין שיש בדיוק ערך אחד שמקיים את התכונה; גם אותו אפשר להגדיר בעזרת כמת הקיום, ולכן הוא מקוצר נוח בלבד.

בלוגיקה של ימי הביניים חילקו את הכמויות לשלוש קטגוריות עיקריות: כל, אי־אלו (חלק מהאוסף), ושום. יש גם נוסחאות נוספות אצל הוגים כגון הרמב"ם, שהשתמשו בהבחנות אלו בתיאורי היגיון.

כמת הוא סימן שאומר על מי מדברים. יש שני כמתים חשובים: "לכל" ו"קיים". "לכל" אומר את זה על כולם. "קיים" אומר שיש לפחות אחד כזה.

יש שפה לוגית פשוטה שמחברת משפטים עם מילים כמו "ו", "או" ו"לא". אבל כדי לומר דברים על כל הפריטים או על כמה מהם מוסיפים את המילים "לכל" ו"קיים". למשל "לכל חתול יש זנב" אומר שזה נכון על כל החתולים.

כמת מחובר לחלק מסוים במשפט. חלק זה נקרא "תחום הקשירה" והוא החלק שקובע מה המשתנה עושה שם. אפשר לשנות את שם המשתנה, למשל מ-x ל-z, אם משנים את זה בכל מקום באותו חלק.

לעיתים לא צריך את שני הכמתים יחד. אפשר להמיר בין "לכל" ו"קיים" על ידי משפט עם "לא". יש גם ביטוי שאומר "קיים ויחיד". זה אומר שיש רק אחד שמתאים.

בלוגיקה של ימי הביניים דיברו על שלוש אפשרויות: כל, חלק מהאוסף (אי־אלו), ושום. גם הוגים כמו הרמב"ם השתמשו בהבחנות אלה.