כפולה משותפת מינימלית

כפולה משותפת מינימלית (כמק"ב, lcm, קיצור של Least Common Multiple) של שני מספרים שלמים שאינם שניהם אפס היא המספר החיובי הקטן ביותר ששני המספרים מחלקים אותו.

לדוגמה, הכפולה המשותפת המינימלית של 21 ו-6 היא 42.

כיצד מחשבים אותה? אפשר לפרק כל מספר לגורמים ראשוניים. פירוק לגורמים ראשוניים פירושו לכתוב את המספר כמכפלה של מספרים ראשוניים (מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו). שיטה נוספת, יעילה למספרים גדולים, משתמשת במחלק המשותף המקסימלי.

נסמן gcd את המחלק המשותף המקסימלי (Greatest Common Divisor). אזי ניתן לחשב את הכמק"ב על ידי הנוסחה: lcm{a,b} = (a · b) / gcd{a,b}. משמעותה היא שכאשר שני המספרים זרים זה לזה (אין להם מחלק משותף גדול מ-1), הכמק"ב הוא פשוט הערך המוחלט של מכפלתם.

אחד השימושים השכיחים של הכמק"ב הוא בחיבור שברים. כשהמכנים שונים, בוחרים כמק"ב של המכנים כמכנה משותף. לאחר מכן מרחיבים את המונה והמקנה בכל שבר כך שהמכנים יהיו שווים, ואז מחברים.

אם בוחרים מכנה שהוא כפולה גדולה יותר מהכמק"ב, מקבלים שבר שניתן לצמצם. לכן הכמק"ב הוא הבחירה היעילה ביותר למכנה משותף.

כפולה משותפת מינימלית היא המספר החיובי הקטן ביותר ששני מספרים מתחלקים בו.

דוגמה קצרה: הכפולה המשותפת של 21 ו-6 היא 42.

איך מוצאים את זה? יש שתי דרכים עיקריות. אפשר לפרק מספרים למספרים ראשוניים. מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו. אפשר גם להכפיל את שני המספרים ולחלק ב"המחלק המשותף הגדול ביותר". המחלק המשותף הגדול ביותר הוא המספר הכי גדול שמחלק את שניהם.

כמק"ב משמש גם כדי לחבר שברים. מוצאים מכנה משותף, ואז מרחיבים את המונים והמכנים כך שהמכנים יהיו זהים. אחרי זה מחברים את המונים.

אם בוחרים מכנה גדול יותר מהנדרש, בדרך כלל מקבלים שבר שניתן לצמצם.