מחלק

מספר שלם a הוא מחלק (או גורם) של מספר שלם b אם קיים מספר שלם c כך ש-b=ac. כלומר, בחלוקה של b ב-a השארית היא 0. נהוג לרשום זאת כ־a\mid b, ואם לא אז כ־a\nmid b. למשל 5\mid35 אבל 5\nmid33.

מתכונות בסיסיות נובע שלכל k שלם מתקיים a\mid ka (הומוגניות), ובפרט a\mid a (רפלקסיביות). לכל k שלם גם k\mid0, וכך 0\mid0 אמנם נכון, אבל חלוקה ב־0 אינה מוגדרת כיוון שהביטוי 0:0 מקבל אינספור פתרונות.

יחס "מחלק את" הוא טרנזיטיבי: אם a\mid b וגם b\mid c אז a\mid c. כך היחס מהווה קדם־סדר על קבוצת השלמים. הוא אינו אנטי־סימטרי על השלמים (למשל 5\mid-5 וגם -5\mid5), אך הוא אנטי־סימטרי על הטבעיים ולכן מהווה סדר חלקי עליהם.

תכונה חשובה נוספת היא ליניאריות: אם a\mid b וגם a\mid c אז לכל n_1,n_2 שלמים מתקיים a\mid(bn_1+cn_2). ההוכחה פשוטה: מכתיבים b=k_1a ו־c=k_2a ומקבלים שהצירוף הליניארי שווה ל־(k_1n_1+k_2n_2)a.

למחלק המשותף המקסימלי (gcd) של שני מספרים יש חשיבות בתורת המספרים. הדבר קשור למשפט היסודי של האריתמטיקה, שלפיו כל מספר טבעי מתפרק באופן יחיד למכפלה של מספרים ראשוניים (מספר ראשוני = מספר גדול מ־1 שאין לו מחלקים חיוביים אחרים חוץ מ־1 ועצמו). מכאן שיש עניין בגורמים הראשוניים של מספר נתון.


נסמן d(n) את מספר המחלקים החיוביים של n\ge2. אם נכתוב את n כמכפלה ראשונית n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}, אז כל מחלק חיובי של n נכתב כ־p_1^{x_1}\cdots p_m^{x_m} עם 0\le x_i\le k_i. לפי עקרון הכפל:

d(n)=(k_1+1)(k_2+1)\cdots(k_m+1).

לדוגמה, 12=2^2\cdot3^1 ולכן יש לו (2+1)(1+1)=3\cdot2=6 מחלקים חיוביים: 1,2,3,4,6,12. אם סופרים גם מחלקים שליליים, מספר המחלקים שלם הוא פי 2 ממספר המחלקים החיוביים, כי לכל מחלק חיובי קיים נגדי שלו.


את רעיון המחלק אפשר להרחיב לכל חוג (מבנה אלגברי). באותו אופן אומרים שאיבר a מחלק איבר b אם קיים איבר c בחוג כך ש־b=ac. למשל בחוג הפולינומים בעל מקדמים שלמים, x+1 מחלק את x^3-x כי x^3-x=(x+1)(x^2-x). מושג זה חשוב בניתוח פריקות יחידה ובתכונות אלגבריות של חוגים.

מספר a הוא מחלק של מספר b אם יש מספר שלם c כך ש‑b=a·c. זה אומר שהחלוקה של b ב‑a לא נותנת שארית.

דוגמה פשוטה: 5 מחלק את 35 כי 35=5·7. אבל 5 לא מחלק את 33.

חוקים קצרים: אם a מחלק b וגם b מחלק c אז a מחלק גם את c. כל מספר מחלק את עצמו. אפס מחלק אפס אבל חלוקה ב‑0 אינה נכונה.


לכל מספר טבעי יש מספר מסויים של מחלקים חיוביים. אם כותבים מספר כמכפלה של מספרים ראשוניים (מספר ראשוני = מספר עם מחלקים רק 1 ו‑עצמו), אפשר לחשב כמה מחלקים יש לו.

דוגמה: 12=2^2·3^1. לכל חזקה אפשר לבחור 0,1 או 2 עבור 2, ולבחור 0 או 1 עבור 3. כך יש (2+1)(1+1)=3·2=6 מחלקים חיוביים. הם: 1,2,3,4,6,12. אם מוסיפים גם את השליליים מקבלים פי 2.


גם בחוגים אחרים אפשר לדבר על מחלקים. למשל בפולינומים x+1 מחלק את x^3-x כי החזקה מתפרקת ל־(x+1)(x^2-x).