לגראנז'יאן

לגראנז'יאן היא פונקציה שמתארת מערכת פיזיקלית, בדרך כלל בלי חיכוך או איבוד אנרגיה. בעזרת הלגראנז'יאן אפשר לרשום את משוואות התנועה של המערכת, שנקראות משוואות אוילר-לגראנז'. משוואות אלה שקולות לחוק השני של ניוטון, אך הפורמליזם הלגראנז'יאני מקל על הגזירה ומדגיש סימטריות.

הלגראנז'יאן תלוי בזמן, בקואורדינטות מוכללות (קואורדינטות שמתאימות לתיאור המערכת) ובמהירויות המוכללות (נגזרותיהן בזמן). הלגראנז'יאן לא תמיד יחיד; קיימות פונקציות שונות שמתארות את אותה מערכת ומובילות לאותן משוואות. בשיטה פשוטה מקושרים בו שתי אנרגיות: האנרגיה הקינטית T (אנרגיית תנועה) והאנרגיה הפוטנציאלית U (אנרגיה כתוצאה מהמיקום), ונקבל L = T - U.

משוואת אוילר-לגראנז' נותנת את משוואות התנועה מהלגראנז'יאן על ידי נטילת נגזרות חלקיות ונגזרת בזמן. פורמליזם זה משמש גם כבסיס למעבר לפורמליזמים אחרים, כמו המילטוניאן או משוואת המילטון-יעקובי. מקור הרעיונות הוא עקרון הפעולה המינימלית בחשבון וריאציות או עקרון ד'אלמבר.


ניקח מטוטלת פשוטה. כקואורדינטה מוכללת נבחר את הזווית θ של המוט מהאנך. האנרגיה הקינטית תלויה במסה m, באורך l ובמהירות הזוויתית; האנרגיה הפוטנציאלית נובעת מכוח הכבידה g ועליה תלויה בצורת cosθ. הלגראנז'יאן L שווה להפרש בין T ל-U.

החלת משוואת אוילר-לגראנז' על הלגראנז'יאן של המטוטלת נותנת משוואה שמקשרת בין התאוצה הזוויתית לתנופה הכבידתית: m l^2 · תבנית הכוללת ddotθ = - m g l sinθ. בקירוב זוויתי ראשון משתמשים ב-sinθ ≈ θ ומקבלים משוואה פשוטה יותר: ddotθ = - (g/l) θ. חשוב לציין שגם הוספת נגזרת בזמן של פונקציה כלשהי ללגראנז'יאן אינה משנה את משוואות התנועה, ולכן יש חופש בבחירת L.

לגראנז'יאן הוא כלי במתמטיקה לפיזיקה. פונקציה (כלל שמקבל ערכים ומחזיר ערך) זה מסייע לכתוב חוקי תנועה. המשוואות שמקבלים ממנו נקראות משוואות אוילר-לגראנז'. אלה שוות בעקרון לחוקי התנועה של ניוטון.

הלגראנז'יאן בונה על שתי אנרגיות. אנרגיה קינטית היא אנרגיית התנועה. אנרגיה פוטנציאלית היא אנרגיה בגלל המיקום. הלגראנז'יאן הוא הפרש בין אנרגיית התנועה לאנרגיית המיקום: L = T - U.


נבחן מטוטלת פשוטה. מטוטלת היא גוף שמחובר לקצה חוט ומתנדנד. הזווית של החוט מהאנך היא הקואורדינטה החשובה. אנרגיית התנועה של המטוטלת תלויה במסה, באורך ובמהירות שלה. אנרגיית המיקום תלויה בגובה ובכבידה. חישוב הלגראנז'יאן ומעבר במשוואות נותן חוק שמתאר את תנועת ההתנדנדות. אם הזוויות קטנות, מתקבלת משוואה פשוטה שמראה שהמטוטלת מתנדנדת קדימה ואחורה.