מודול (מבנה אלגברי)

במתמטיקה מודול הוא מבנה אלגברי שמבוסס על חבורה אבלית, כלומר קבוצה עם חיבור (נסמן +) ואיבר אפס. על החבורה הזו פועל חוג R באמצעות 'כפל בסקלר' (פעולה שמכפילה איבר של החוג באיבר של החבורה), בדומה לאופן שבו שדה פועל על מרחב וקטורי. מודולים משמשים ככלי כללי בתורת החוגים ובאלגברה הומולוגית.

חבורה אבלית M היא מודול שמאלי מעל חוג R אם מוגדרת פעולה R×M→M שמקיימת דיסטריבוטיביות (פירוק חיבור), אסוציאטיביות וכיבוד האחדות של R. באופן דומה מגדירים מודול ימני כאשר הכפל בסקלר הוא M×R→M. אין הבדל מהותי בין שתי ההגדרות, אלא כאשר עוסקים בבימודולים שעליהם פועלים שני חוגים במקביל.

מודולים כוללים מרחבים וקטוריים (כאשר R הוא שדה) וחבורות אבליות (כאשר R=
Z, חוג המספרים השלמים). חוג R הוא מודול מעל עצמו, ואידיאלים שמאליים הם מודולים. אם V מרחב וקטורי ו-T:V→V העתקה לינארית, אפשר להפוך את V למודול מעל חוג הפולינומים F[λ] על ידי λ^i·v = T^i(v). המבנה הזה משקף תכונות של T, כמו פירוק ז'ורדן.

תת-חבורה N של M היא תת-מודול אם היא סגורה להכפלה בסקלר. החיתוך והסכום של תת-מודולים הם תת-מודולים, ויש חשיבות לסכום ישר שבו כל איבר מתפרק בצורה יחידה. מודול המנה M/N מוגדר כקבוצת הקוסטים m+N עם כפל בסקלר המורשף. הומומורפיזם בין מודולים הוא פונקציה ששומרת חיבור וכפל בסקלר; איזומורפיזם הוא הומומורפיזם חד-חד-ערכי ועל.

האוסף של כל האנדומורפיזמים (פונקציות שמכבדות חיבור) של חבורה אבלית M מהווה חוג, המסומן End_Z(M). אם M מודול מעל R, אז לכל r∈R ההעתקה ℓ_r:m↦rm היא אנדומורפיזם, והעתקה r↦ℓ_r היא הומומורפיזם של חוגים. כך יש קשר בין האופן שבו R פועל על M לבין ההומומורפיזמים של M.

מודול פשוט הוא מודול שאין לו תת-מודולים פרט לאפס ולעצמו. מודול ציקלי נוצר על ידי איבר אחד. מודולים ציקליים הם איזומורפיים ל-R/L כאשר L אידיאל שמאלי. מודול פריק לחלוטין הוא סכום של מודולים פשוטים. מודול נאמן הוא כזה שאין איבר חוג שאפס אותו כולו. חוג עם מודול פשוט ונאמן נקרא חוג פרימיטיבי. עבור מודולים נוצרי סופיים מעל תחום ראשי יש פירוק יחיד לסכום ישר של מודולים ציקליים R/d_iR, וזה כולל את משפט המיון של חבורות ובפירוק ז'ורדן.

באופן כללי מודול שמאלי לא הופך למודול ימני על אותו חוג, כי אסוציאטיביות עלולה להישבר. אם החוג קומוטטיבי הבעיה נעלמת. עבור חוג שאינו קומוטטיבי משתמשים בחוג המנוגד R^op, שמחזיק את אותו מבנה חיבורי אך כפל הפוך, כדי להמיר בין שמאלי לימני.

אוסף המודולים מעל R מהווה קטגוריה חשובה בתורת ההצגות ובהומולוגיה האלגברית. קטגוריות של קומפלקסי שרשרת של מודולים, סימונן C^b(mod-R), הן אבליות, וההיפוך הרשמי של קוואזי-איזומורפיזמים מוביל לקטגוריה הנגזרת D^b(mod-R). קטגוריה זו אינה אבלית אך היא משולשית ומשרתת ניתוח הומולוגי עמוק יותר.

מודול הוא קבוצה עם חיבור, שבה אפשר להכפיל איברים ב'מספרים' שנקראים חוג. חבורה אבלית פירושה שקיים חיבור עם איבר אפס. הכפל במספרים הזה נקרא כפל בסקלר.

אם יש פעולה R×M→M שמכפילה כל מספר r באיבר m והתוצאה שומרת על חיבור, אז M הוא מודול מעל R. אפשר להגדיר כפל גם מצד ימין, ואז קוראים לו מודול ימני.

מרחב וקטורי הוא מודול כאשר המספרים הם שדה. חבורות אבליות הן מודולים כאשר המספרים הם המספרים השלמים Z. חוג יכול להיות מודול על עצמו. אם יש העתקה לינארית T על מרחב, אפשר להשתמש בה כדי להגדיר פעולה של פולינומים על הווקטורים.

תת-מודול הוא קבוצה סגורה תחת חיבור וכפל בסקלר. אפשר לבנות מודול מנה M/N מקבוצות קוסטים. פונקציה ששומרת חיבור וכפל נקראת הומומורפיזם.

מודול פשוט אין בו תת-מודולים קטנים. מודול ציקלי נוצר על ידי איבר אחד. מודול נאמן לא מתאפס על ידי מספר חוץ מאפס. הקטגוריה של מודולים מסדרת את כל המודולים יחד, וזה חשוב בלימוד האלגברה.