משפט קיילי-המילטון

משפט קיילי־המילטון: לכל מטריצה ריבועית A מעל שדה קיים הפולינום האופייני f(λ)=|λI−A|. משמעות הדבר היא שכשמחליפים את λ במטריצה A מקבלים את מטריצת האפס, כלומר f(A)=0. הפולינום המינימלי, שהוא הפולינום הקצר ביותר שמאפס את A, תמיד מחלק את הפולינום האופייני.

היסטוריה: ארתור קיילי הציע הוכחות לממדים קטנים (1858). המילטון גילה מקרים נוספים בעבודותיו. הוכחה כללית ניתנה על־ידי פרובניוס ב־1878.

רעיון קצר: משתמשים במטריצה המצורפת (adjugate), שהיא מטריצה שעוזרת לחשב דטרמיננטות. מכיוון ש(xI−A)·adj(xI−A)=det(xI−A)I, ורכיבי adj הם פולינומים ממעלה ≤n−1, ניתן להשוות מקדמים ופשוט לקבל טור טלסקופי שמוביל ל־f(A)=0.

כאשר A לכסינה (diagonalizable), יש בסיס של וקטורי eigen, וקטורי עצם. וקטור עצמי v מקיים Av=λv. לכן חישוב f(A)v מפשט לפולינום f(λ) כפול v. מאחר ש־f(λ)=0 לכל שורש λ, מתקבל f(A)=0.

מעל שדה סגור אפשר לשים את A בצורת ז'ורדן (בלוקים משולשים עם λ על האלכסון). לכל בלוק בגודל n הביטוי (A−λI)^n מאפס את הבלוק. מכיוון שהפולינום האופייני הוא מכפלת גורמים (x−λ_i)^{n_i}, החלפת A בפולינום זה מאפסת את כל הבלוקים יחד.

מגדירים על הווקטורים פעולה של פולינומים כך ש־x פועל כ־A. טכניקה זו רואה את
V כמודול מעל
F[x]. בעזרת זה ומשוואת adjugate ל־(xI−A^{tr}) מתקבלים שורות אפסים, ומשם נובע ש־f(A)=0.

יש משפט במתמטיקה שאומר: כל מטריצה ריבועית A "מכבה" את הפולינום האופייני שלה. פולינום אופייני הוא פולינום שמקבלים מהדטרמיננטה |λI−A|. כשמחליפים את λ במטריצה A מקבלים את מטריצת האפס.

היסטוריה קצרה: קיילי גילה את הרעיון בממדים קטנים. המילטון עבד על מקרים נוספים. הוכחה מלאה נמצאה ב־1878.

יש מטריצה מיוחדת שנקראת adjugate. היא קשורה לדטרמיננטה. מכפילים אותה ב(xI−A) ומקבלים det(xI−A)I. משם משתמשים בחשבון פולינומים ומקבלים ש־f(A)=0.

אם A ניתנת להעלאה לבסיס של וקטורי עצם, אז כל וקטור כזה מתנהג כמו מספר λ. חישוב פשוט מראה ש־f(A) מחקה אותם, ולכן שווה לאפס.

אפשר לשים את המטריצה בצורת בלוקים משולשים. בכל בלוק הורדת האלכסון ל־0 והעלאה בחזקת גודל הבלוק נותנת אפס. לכן הפולינום האופייני מאפס את כל הבלוקים.

אפשר גם לחשוב על וקטורים כעל מקום שבו פולינומים פועלים. פעולה זו נותנת דרך נוספת להראות ש־f(A)=0.