מטריצה אורתוגונלית

מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה ריבועית עם ערכים ממשיים המקיימת A^t A = A A^t = I. I היא מטריצת היחידה, ו-A^t היא ה-transpose, כלומר המטריצה המשוחלפת של A. לדטרמיננטה של מטריצה אורתוגונלית יש ערך ±1.

כפל במטריצה אורתוגונלית שומר על אורכי וקטורים ועל הזוויות ביניהם. העמודות של מטריצה כזו מהוות בסיס אורתונורמלי למרחב: זה אומר שהעמודות אנכיות זו לזו (אורתוגונליות) ובעלות אורך 1 (נורמליות).

ניתן להגדיר מטריצה אורתוגונלית בכמה דרכים שקולות. למשל: A אורתוגונלית אם ועכשיו עמודותיה אורתונורמליות. בנוסף, אם A אורתוגונלית אז גם A^t אורתוגונלית.

אוסף כל המטריצות האורתוגונליות n×n מעל שדה F סגור לכפל ומהווה חבורה אלגברית שמסמנין O_n(F). מעל הממשיים, O_n(ℝ) היא חבורה קומפקטית.
מטריצות אורתוגונליות עם דטרמיננטה 1 נקראות "אורתוגונליות מיוחדות" ומהוות את תת‑החבורה SO_n(F). במאפיין שונה מ-2, SO_n היא תת־חבורה מאינדקס 2 של O_n. המטריצות הסקלריות ±I משחקות תפקיד במעבר לחבורות מנה PO_n ו-PSO_n.

האלמנט -I שייך ל-SO_n(F) בדיוק כאשר n זוגי. כתוצאה, כש-n זוגי יש ארבע חבורות שונות O_n, SO_n, PO_n ו-PSO_n. כש-n אי־זוגי יש איזומורפיזמים שמצמצמים את ההבחנות.

עבור n=2, SO_2 מורכבת מכל מטריצות הסיבוב בזוויות שונות. חבורה זו היא אבלית (הפעולה קומוטטיבית) והיא איזומורפית למעגל S^1 ול-R/ Z. קיים גם זיהוי כפול שמוביל לכך ש-PSO_2(ℝ) ≅ SO_2(ℝ).
O_2(ℝ) כוללת בנוסף שיקופים, למשל τ = [[1,0],[0,-1]], וכל המכפלות של τ בסיבובים. חבורה זו אינה אבלית. גם כאן PO_2(ℝ) איזומורפית ל-O_2(ℝ).

מטריצה אורתוגונלית היא דוגמה למטריצה אוניטרית מעל ℝ. מטריצה אוניטרית A∈M_n(F) מקיימת A^* A = I, כאשר A^* היא ה-conjugate transpose (ה-transpose והקוניגציה של הערכים). כתוצאה, שורותיה ועמודותיה פורשות את F^n. כאן F יכולה להיות ℝ או ℂ.

מטריצות אוניטריות ואורתוגונליות שומרות על המכפלה הפנימית ועל מבנה המרחב, ולכן חשובות באנליזה ובאלגברה ליניארית.

מטריצה אורתוגונלית היא טבלת מספרים ריבועית עם מספרים ממשיים. היא מקיימת A^t A = I. כאן A^t זו המטריצה המוחלפת, ו-I היא מטריצת היחידה.

לדטרמיננטה של מטריצה אורתוגונלית יש ערך +1 או -1. כפל במטריצה כזו משאיר את האורך של וקטורים כפי שהוא. הוא גם שומר על הזוויות בין וקטורים.

עמודות המטריצה הן וקטורים שאורתוגונליים (מאונכים זה לזה) ויש להם אורך 1. זה נקרא בסיס אורתונורמלי. בסיס כזה מסדר את המרחב באופן נוח.

כל המטריצות האורתוגונליות ביחד יוצרות קבוצה מיוחדת שנקראת O_n. אלה עם דטרמיננטה 1 נקראות SO_n.
האלמנט -I נמצא ב-SO_n רק אם n זוגי.

כאשר n=2, SO_2 הן כל מטריצות הסיבוב. אלו מסתובבות במישור בזוויות שונות. זו חבורה כמו המעגל.
O_2 כוללת גם שיקופים, למשל מטריצה שמשנה את סימן הציר ה-y. O_2 אינה תמיד מקומטית כמו מעגל.

מטריצת אוניטרית היא דומה לאורתוגונלית אבל עם מספרים מרוכבים. A^* היא המטריצה המוחלפת ובה מחליפים כל מספר במורכב שלו (קונגוגט). מטריצות אלה גם שומרות אורכים ומכסות את החלל.