מטריצות פאולי

מטריצות פאולי הן שלוש מטריצות מרוכבות בגודל 2×2. "מרוכבות" פירושו שהערכים בהן יכולים להיות מספרים מרוכבים (עם החלק המדומה i). מטריצות אלה משמשות לתיאור סיבובים של מצבים קוונטיים במרחב דו‑ממדי של פונקציות מרוכבות. הקריאה נובעת מהשימוש הרחב בהן בפיזיקה ובתורת הקוונטים.

σ1 = [[0,1],[1,0]]
σ2 = [[0,-i],[i,0]]
σ3 = [[1,0],[0,-1]]

דוגמה שימושית: אופרטור הספין (ספין = תכונה קוונטית שמזכירה מומנט הזוויתי הפנימי של חלקיק) ניתן לכתוב כך: S = ħ/2 · σ⃗. כאן ħ הוא קבוע פיזיקלי קטן, ו‑σ⃗ היא וקטור של מטריצות פאולי.

- כל σi שווה לצמוד ההרמיטיאני שלו (σi† = σi). כלומר ערכי ההשעיה מתאימים כך שהמטריצות אינן "משנות" את עצמן בהצמדה.
- Trace(σi) = 0, כלומר סכום האלמנטים האלכסוניים הוא אפס.
- det(σi) = −1.
- מכפלות מסוימות: σ1σ2 = iσ3, σ2σ3 = iσ1, σ3σ1 = iσ2.
- אם i ≠ j אז σiσj = −σjσi (הן אנטי‑קומוטטיביות).
- הן מקיימות את יחס הקומוטטור [σi,σj] = 2i εijk σk ואת האנטי‑קומוטטור {σi,σj} = 2 δij I. כאן δij היא דלתת קרונקר (1 אם שווים, אחרת 0) ו‑εijk הוא סימן לוי‑צ'יוויטה (מסמן סדרות וסימני חילוף).
- נוסחה שימושית: (a·σ)(b·σ) = a·b · I + i (σ·(a×b)). זוהי כללי כפל שמקשרים בין מכפלת מטריצות לפעולות וקטוריות.

מטריצות פאולי מופיעות בתיאור הספין של חלקיקים ובהגדרה של הפונקציות העצמיות שלהם. הן משמשות גם בהגדרת הבורגיות (helicity), ובהרכבה של משוואת דיראק במרחב של ספינורים ארבע־ממדיים.

בחישוב קוונטי, מטריצות פאולי מייצגות שערים בסיסיים על קיוביטים. השמות הנפוצים של השערים הם X = σ1, Y = σ2, Z = σ3. הם מהווים אבני בניין לפעולות לוגיות יחידות ולבניית מעגלים קוונטיים.

מטריצות פאולי הן שלוש "טבלאות" קטנות של מספרים. כל טבלה היא בגודל שני על שני. "טבלה" כאן פירושה מטריצה.

יש שלוש מטריצות: σ1, σ2 ו‑σ3. כל אחת נותנת דרך שונה לשנות וקטור קטן של שני מספרים. אחת מחליפה בין שתי הכניסות. השנייה משתמשת ב‑i, שהוא מספר דמיוני. השלישית נותקת סימן אחד ל־+1 ולחברו ל‑−1.

הן מיוחדות: סכום האלכסון שלהן הוא אפס. אם מכפילים שתי מטריצות מסוימות מקבלים את השלישית פעמים i. אם מחליפים את הסדר של הכפל, התוצאה משתנה בסימן.

המטריצות עוזרות לתאר איך חלקיקים קטנים מסתובבים. משתמשים בהן בתיאורים של ספין ובתאוריות קוונטיות חשובות.

בחישוב קוונטי משתמשים בהן בתור שערים שנקראים X, Y ו‑Z. שערים אלה משנים קיוביטים בדרך שניתן לבנות ממנה תוכנות קוונטיות.